27. ∫ x + 3 x - 1 d x

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral abaixo, usando método da substituição:

∫ x + 3 x - 1 d x

Fazendo – se

u 2 = x + 3

x = u 2 - 3

d x = 2 u   d u

Teremos:

= ∫ u u 2 - 3 - 1   ⋅ 2 u   d u

= ∫ 2 u 2 u 2 - 4 d u

= 2 ∫ u 2 u 2 - 4 d u

Para resolver a questão, devemos somar - 4 + 4 , lembrando que isso não modifica o valor, pois estamos somando 0. ( - 4 + 4 = 0 )

2 ∫ 4 u 2 - 4 + u 2 - 4 u 2 - 4   d u

Portanto,

= 2 ∫ 4 u 2 - 4 + 1 d u

Divida a integral em duas,

= 8 ∫ 1 u 2 - 4 d u + 2 ∫ 1   d u

= 8 ∫ d u u 2 - 2 2 + 2 ∫ 1 d u

Passo 2

No final do livro, em Tabelas de integrais, temos:

- 8 ∫ d u 2 2 - u 2 + 2 ∫ 1 d u

Assim, temos:

= - 8 ⋅ 1 2 a ln ⁡ 2 +   u 2 - u     + 2 u + c

= - 8 ⋅ 1 4 ln ⁡ 2 + u 2 - u     + 2 u + c

- 2 ln ⁡ 2 + u 2 - u   + 2 u + c

Substituindo u = x + 3

- 2 ln ⁡ 2 + x + 3 2 - x + 3   + 2 x + 3 + c

Resposta

- 2 ln ⁡ 2 + x + 3 2 - x + 3   + 2 x + 3 + c

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