Enunciado

27-28. Use um recurso gráfico para estimar o valor de f ' 1 fazendo um zoom no gráfico de f ; depois compare sua estimativa ao valor exato obtido por derivação.

28. f x = x + 2 x 3 2 x

Passo 1

Então pessoal, se plotarmos o gráfico da função em questão, teremos algo assim:

Se dermos um zoom em f ( 1 ) teremos o seguinte:

Mas poxa, o que conseguimos com isso? Simples, vamos descobrir a equação da reta nesse zoom! Se pegarmos dois pontos da reta, teremos o seguinte:

Primeiro ponto: ( 1 ,   3 ) ;

Segundo ponto: 0.8 ,   2.5 .

Lembrando que a equação da reta tangente é y = a x + b e que a derivada em f ' 1 é justamente nosso a da equação, vamos dar continuidade à nossa busca!

Passo 2

Se criarmos um sistema, teremos:

3 = a + b 2,5 = 0,8 a + b

Subtraindo as equações, teremos:

0,5 = 0,2 a

a = 5 2

Opaaaa, descobrimos que nosso coeficiente angular vale 5 2 , galera! Dessa forma, a nossa conclusão é que, graficamente, a derivada no ponto x = 1 vale 5 2 , ok? Agora vamos partir para os cálculos para comprovar isso ou não.

Passo 3

A função que nos foi dada é a seguinte:

f x = x + 2 x 3 2 x

Podemos simplifica-la da seguinte forma:

f x = x x 1 2 + 2 x 3 2 x 1 2 = x 1 2 + 2 x

Utilizando a regra da potência, nossa derivada será:

f ' x = 1 2 . x 1 2 - 1 + 2.1 x 1 - 1

f ' x = 1 2 x 1 2 + 2

Tudo bem, agora aplicando ponto x = 1 , teremos:

f ' 1 = 1 2.1 + 2 = 5 2

Que é exatamente o resultado que esperávamos, galera!

Resposta

Graficamente parece que f ' 1 = 5 2 . Algebricamente temos: f ' 1 = 5 2 .

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