Enunciado

Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

f x , y = y 3 + 3 x 2 y - 6 x 2 - 6 y 2 + 2

Passo 1

A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!

Nesse problema, nossa função é

f x , y = y 3 + 3 x 2 y - 6 x 2 - 6 y 2 + 2

Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:

f x = 6 x y - 12 x

f y = 3 y 2 + 3 x 2 - 12 y

Os pontos críticos são obtidos fazendo f x = f y = 0 . Assim,

6 x y - 12 x = 0 ⇒ 6 x y - 2 = 0

Daqui tiramos duas soluções possíveis: ou x = 0 ou y = 2 . A segunda equação é

3 y 2 + 3 x 2 - 12 y = 0 ⇒ y 2 + x 2 - 4 y = 0

Usando x = 0 , a equação vira

y 2 - 4 y = 0 ⇒ y y - 4 = 0 ⇒ y = 0         o u           y = 4

Já para y = 2 , a equação vira

4 + x 2 - 8 = 0 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ± 2

Portanto, os pontos crítico de f são

0 ,   0 ,         0 ,   4 ,         - 2 ,   2         e           ( 2 ,   2 )

Passo 2

Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:

f x x = 6 y - 12

f y y = 6 y - 12

f x y = f y x = 6 x

Assim, o determinante hessiano será

D = f x x f x y f y x f y y = 6 y - 12 6 x 6 x 6 y - 12

Logo,

D = 6 y - 12 2 - 36 x 2 = 36 y 2 - 36 x 2 - 144 y + 144 = 36 ( y 2 - x 2 - 4 y + 4 )

O termo que vai controlar o sinal de D é

I = y 2 - x 2 - 4 y + 4

Passo 3

Para ( 0 ,   0 ) , temos que I = 4 > 0 . Olhando para f x x = - 12 < 0 , vemos que se trata de um máximo local.

Já para ( 0 ,   4 ) , obtemos I = 16 - 16 + 4 = 4 > 0 enquanto f x x = 24 - 12 = 12 > 0 , de modo que é um mínimo local.

Para ( - 2 ,   2 ) , encontramos I = 4 - 4 - 8 + 4 = - 4 < 0 . Trata-se de um ponto de sela.

Por fim, para ( 2 ,   2 ) , também encontramos I = - 4 < 0 .

Resposta

- 2 ,   2   e     2 ,   2     →   p o n t o s   d e   s e l a

0 ,   0   →         m á x i m o   l o c a l

0 ,   4     →       m í n i m o   l o c a l

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize uma ferramenta gráfica para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfi
14.14. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o po
14.11. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o po
14.15. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o po
14.9. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o pon