Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 9
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Passo 1
A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!
Nesse problema, nossa função é
Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:
Os pontos críticos são obtidos fazendo . Assim,
Daqui tiramos duas soluções possíveis: ou ou . A segunda equação é
Usando , a equação vira
Já para , a equação vira
Portanto, os pontos crítico de são
Passo 2
Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:
Assim, o determinante hessiano será
Logo,
O termo que vai controlar o sinal de é
Passo 3
Para , temos que . Olhando para , vemos que se trata de um máximo local.
Já para , obtemos enquanto , de modo que é um mínimo local.
Para , encontramos . Trata-se de um ponto de sela.
Por fim, para , também encontramos .