Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.

∑ k = 1 ∞ k ( k + 2 ) k + 3 2

Passo 1

Para testar a convergência, não temos ainda muitos métodos, então usaremos primeiramente o teste do termo geral.

Este teste diz que para uma série

∑ k = 1 ∞ a k

convergir é necessário que

lim k → ∞ ⁡ a k = 0

Passo 2

Na série que estamos analisando temos que

a k = k ( k + 2 ) k + 3 2

No limite

lim k → ∞ ⁡ a k = lim k → ∞ ⁡ k ( k + 2 ) k + 3 2

Colocando k em evidencia tanto no denominador quanto no numerador

lim k → ∞ ⁡ k 2 1 + 2 k k 1 + 3 k 2 = lim k → ∞ ⁡ k 2 1 + 2 k k 2 1 + 3 k 2

Simplificando k 2

lim k → ∞ ⁡ 1 + 2 k 1 + 3 k 2 = 1

Portanto temos que lim k → ∞ ⁡ a k ≠ 0 , logo a série diverge.

Resposta

Diverge.

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