Enunciado

29-32 Determine se a afirmação falsa é verdadeira ou falsa. Explique a resposta.

32- A função

f x = 0 ,   x ≤ 0 x 2 ,   x > 0

É integrável em qualquer intervalo [ a , b ]

Passo 1

Essa questão é puramente conceitual, então vamos com calma para não nos embolarmos.

Desenharemos o gráfico dessa função e usaremos o fato de que uma função é integrável se tiver um número finito de descontinuidade em [ a , b ] , mas for limitada em [ a , b ] .

Passo 2

Vou desenhar inicialmente o gráfico, que é simples de fazer, para x > 0 , temos um parte de uma parábola e para x ≤ 0 , temos uma função constante e nula.

A nossa função está em vermelho, e o único ponto em que poderíamos ter uma descontinuidade é o ponto x = 0 , porém essa função não é descontínua nesse ponto.

Então, podemos afirmar que a função f x possui um número finito de descontinuidade, que são zero pontos de descontinuidade, então número de descontinuidade igual a 0 .

Passo 3

As funções continuas são sempre limitadas num intervalo fechado [ a , b ] .

Essa função f ( x ) é contínua, pois não possui pontos de descontinuidade, então podemos afirmar que para qualquer intervalo fechado [ a , b ] a função será limitada.

Essa função possui número finitos de descontinuidade (   0   p o n t o s   d e   d e s c o n t i n u i d a d e ) e ainda é limitada, então com toda certeza ela é integrável.

Com tudo que falamos, e não foi pouco hein, podemos concluir que essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

Passo 5

Resposta

Verdadeira

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