Enunciado

29-32 Determine se a afirmação falsa é verdadeira ou falsa. Explique a resposta.

29- Se f ( x ) for integrável em [ a , b ] , então f ( x ) será contínua em [ a , b ] .

Passo 1

Essa questão é puramente conceitual, então vamos com calma para não nos embolarmos.

O Teorema 5-5-8 a)

Diz que: Se f tiver um número finito de descontinuidades em [ a , b ] , mas for limitada em [ a , b ] , então será integrável.

Passo 2

f ( x ) é integrável, então possui um número finito de descontinuidades no intervalo [ a , b ] e é limitada em [ a , b ] !!

Opa, se a função tem um número finito de descontinuidades, ela pode ter 0,1 , 2,3 , … descontinuidades.

Então a função pode ter 1,2 , 3 … pontos de descontinuidades, então essa função não é contínua já que possui pontos de descontinuidades, portanto a afirmação é falsa.

Uma função ser integrável não é garantia de ser contínua, porém se ela for contínua, a função é integrável!!

Passo 3

Nesse passo 3, darei um exemplo de função descontínua e integrável

Pegarei uma função simples!!

Como essa aqui.

f x = 1   ,   s e   x ≥ 0 - 1 ,   s e   x < 0

Essa função tem um ponto finito de descontinuidade, apenas o ponto 0 e é limitada f ( x ) está entre - 1 e 1 , portanto é integrável, mas não descontínua.

Resposta

Falsa

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