2.Calcule:

∫ 0 1 x 1 + x 4 d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando de que antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!!!!!

u = x 2

Lembrando que a nossa intenção é colocar todos os termos da integral como uma função de u , teremos que fazer isso até com o d x . E como faremos isso??? Calma, aplicaremos a derivada dos dois lados, lembra né? Vamos lá:

u ' = x 2 '

d u = 2 x d x

Passo 2

Agora que temos tudo em função de   u , vamos substituir de forma simples, anotando aquilo que já obtemos nas operações anteriores:

u = x 2

Lembrando que o termo da integral não é x 2 e sim x 4 , então elevaremos ao quadrado a expressão de cima:

u 2 = x 4

2 x d x = d u

∫ x 1 + x 4 d x   = ∫ d u 2 1 + u 2 = 1 2 ∫ d u 1 + u 2

Pode parecer estranho, mas se você olhar na sua tabela de integral com cuidado, lá estará a integral que queremos calcular:

∫ d u 1 + u 2 = tan - 1 ⁡ u   +   c

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o   u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral! ( u = x 2 ), temos:

∫ x 1 + x 4 d x = 1 2 tan - 1 ⁡ x 2   +   c

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função e faremos a integral definida e atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

∫ 0 1 x 1 + x 4 d x = 1 2 ( tan - 1 ⁡ 1 - tan - 1 ⁡ 0 )

Lembrando que tan - 1 ⁡ 1   = π 4 e tan - 1 ⁡ 0 = 0 e substituindo acima, temos:

∫ 0 1 x 1 + x 4 d x = 1 2 ( ⁡ π 4 - 0 )

∫ 0 1 x 1 + x 4 d x =   π 8

Resposta

∫ 0 1 x 1 + x 4 d x =   π 8

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