2.Calcule:

∫ 0 1 x 3 1 + x 2 d x

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável , chamaremos de:

u = 1 + x 2

Então aplicando derivado aos dois lados, teremos :

u ' = 1 + x 2 '

d u = 2 x d x

Isolando xdx, temos :

x d x = d u 2

Passo 2

Agora substituiremos u na equação, mas antes note que x 2 = u - 1 !

∫ x 3 1 + x 2 d x =   ∫ x 2 x d x 1 + x 2

∫ x 3 1 + x 2 d x = ∫ u - 1 u × d u 2  

Sendo 1 2 constante, o colocaremos para fora e colocaremos tudo como potências de u :

∫ x 3 1 + x 2 d x = 1 2 ∫ u 1 2 - u - 1 2 d u

Calculando a Primitiva :

∫ x 3 1 + x 2 d x = u 3 3 - u + C

Substituindo x em u teremos:

∫ x 3 1 + x 2 d x = 1 + x 2 3 3 - 1 + x 2 + C  

Passo 3

Agora , com a primitiva já calculada, calcularemos a Integral Definida :

∫ 0 1 x 3 1 + x 2 d x = 1 + 1 3 3 - 1 + 1 3 - 1 + 0 3 3 - 1 + 0 3

= 2 2 3 - 2 - 1 3 + 1

Isso nos dá

2 2 - 3 2 - 1 + 3 3

∫ 0 1 x 3 1 + x 2 d x = 2 - 2 3

Resposta

∫ 0 1 x 3 1 + x 2 d x = 2 - 2 3

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