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30. A demanda por um determinado tipo de cereal é dada peal equação p x + 50 p = 16.00 0 onde x milhares de caixa são demandados quando o preço por caixa for p. Se o preço corrente for de $   1,60 por caixa e se os preços por caixa crescerem a uma taxa de $   0,4 por semana, ache a taxa de variação da demanda.

Passo 1

Vamos seguir os seguintes passos para resolver qualquer questão de taxas:

  1. Leia cuidadosamente o problema.
  2. Se possível, faça um diagrama.
  3. Indentificar as variáveis e as constantes do problema.
  4. Escreva uma equação que relacione as variáveis.
  5. Derive em ambos os lados em relação a t usando regra da cadeia.
  6. Substituir o que foi dado e encontrar o que foi pedido.

Identificando as variáveis:

X- demanda de números de caixa( em milhares).

p- preço por caixa.

A questão nos deu d p d t = 0,4 , a taxa de variação do preço.

E nos é pedido d x d t ( taxa de variação da demanda) quando p for $   1,60  

Passo 2

Dessa vez, não é preciso esquentarmos a cabeça procurando uma fórmula que relacione as variáveis, porque a questão nos deu de mãos beijadas.

Ai está a equação:

p x + 50 p = 16.000

Derivando em ambos os lados em relação a t:

d p d t x + p d x d t + 50 d p d t = 0  

p d x d t = - d p d t x - 50 d p d t

p d x d t = d p d t - x - 50

d x d t = d p d t - x - 50 p      

Temos p e d p d t , falta só esse x, mas podemos usar a equação da questão para encontra-lo.

p x + 50 p = 16.000

x = 16.000 - 50 p p      

x = 16.000 - 50 ⋅ 1,60 1,60        

x = 9950

Voltando para as nossas taxas: d x d t = 0,4 ⋅ - 9950 - 50 1,60    

d x d t = -   2500

esta é a variação do números de caixas por semana.

Resposta

d x d t = -   2500

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