Enunciado

32. Dois novos trabalhadores foram contratados em uma linha de montagem. João processou 25 unidades durante a primeira hora e 45 durante a segunda. Marcos processou 35 unidades durante a primeira hora e 50 durante a segunda. Usando o modelo do exercício 31 e assumindo que P 0 = 0 , estime o número máximo de unidades por hora que cada trabalhador é capaz de processar.

Passo 1

No exercício 31 respondemos que a curva de aprendizagem é dada por P t = M + C e - k t .

Passo 2

A sua curva de aprendizagem de Marcos é P B t = M B + C B e - k B t   . Temos que P B 0 = 0 , ou seja, M B + C B ⋅ 1 = 0 , então C B = - M B .

Passo 3

Por outro lado, temos P B 1 = 25 e P B 2 = 45 . Então temos que resolver o seguinte sistema

M B - M B e - k B = 35 M B - M B e - 2 k A = 50

Para facilitar as coisas, vamos chamar e - k B = x e observar que podemos colocar M B em evidência temos que

M B ( 1 - x ) = 35 M B ( 1 - x 2 ) = 50

Divindo a equação de baixo pela equação de cima temos M B 1 - x 2 M B 1 - x = 50 35 e podemos cancelar o fator M B . Vamos observar que 50 35 = 10 7 e temos 1 - x 2 1 - x = 10 7

Passo 4

Então devemos resolver a seguinte equação do 2° grau 7 1 - x 2 = 10 ( 1 - x ) , fazendo a multiplicação temos 7 - 7 x 2 = 10 - 10 x e por fim 7 x 2 - 10 x + 3 = 0 .

Agora vamos utilizar a fórmula de Báskara para resolver a equação do 2° grau. Vamos lembrar que Δ = b 2 - 4 a c e que nesse caso, temos a = 7 ,   b = - 10 ,   c = 3 e Δ = - 10 2 - 4 ⋅ 7 ⋅ 3 = 100 - 84 = 16 . As soluções são x = - b ± Δ 2 a , x ' = - - 10 + 4 2 ⋅ 7 = 14 14 = 1 e x ' ' = 10 - 4 14 = 6 14 . Observe que se x = 1 , estaríamos dividindo por 0 no nosso sistema, então essa solução não pode ser admitida. Então x = 6 14 .

Voltando para o nosso sistema de equações, temos M B 1 - 6 14 = 35 , M A 8 14 = 35 então M A = 14 ⋅ 35 8 = 61,25 .

Passo 5

Ufa! Agora podemos saber qual é a curva de aprendizagem de Marcos. Vamos lembrar que P B t = M B - M B e - k B t . Já sabemos que M B = 61,25 e que e - k A = 6 14 . Então P B t = 61,25 1 - 6 14 t .

Passo 6

Para saber o número máximo de unidades processadas por hora, devemos calcular lim x → ∞ ⁡ P B ( t ) . lim x → ∞ ⁡ 61,21 1 - 8 10 t = 61,25 , pois 6 14 < 1

Resposta

Marcos processará no máximo 61,25 unidades por hora.

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