Resolva a equação diferencial.

y' = x + 5y

Passo 1

E aê, pessoal? Vamos resolver essa equação diferencial, mas primeiro, vamos por na forma linear padrão:

d y d x + P x   y = Q x

É só fazer alguns ajustes, beleza?

y ' = x + 5 y

y ' - 5 y = x

Então:

P x = - 5 ,       Q x = x

Agora já podemos resolver usando fator integrante, ok?

Passo 2

Show! O fator integrante é dado pela fórmula:

I x = e ∫ P x d x = e ∫ - 5   d x = e - 5 x

Multiplicamos nossa equação pelo fator integrante:

y ' e - 5 x - 5 y e - 5 x = x e - 5 x

Repare que o lado esquerdo da equação equivale à derivada de um produto:

y ' e - 5 x - 5 y e - 5 x = y e - 5 x '

Então nossa equação fica:

y e - 5 x ' = x e - 5 x

Passo 3

Beleza! Agora é só integrar:

y e - 5 x = ∫ x   e - 5 x   d x + C

A gente faz integração por partes no lado direito:

y e - 5 x = x - e - 5 x 5 - ∫ 1   .   - e - 5 x 5 d x + C

y e - 5 x = - x e - 5 x 5 - e - 5 x 25 + C

y = - x 5 - 1 25 + C e 5 x

Tudo certo?

Resposta

y = - x 5 - 1 25 + C e 5 x

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