Enunciado

32. Dois novos trabalhadores foram contratados em uma linha de montagem. João processou 25 unidades durante a primeira hora e 45 durante a segunda. Marcos processou 35 unidades durante a primeira hora e 50 durante a segunda. Usando o modelo do exercício 31 e assumindo que P 0 = 0 , estime o número máximo de unidades por hora que cada trabalhador é capaz de processar.

Passo 1

No exercício 31 respondemos que a curva de aprendizagem é dada por P t = M + C e - k t .

Passo 2

A sua curva de aprendizagem de João é P A t = M A + C A e - k A t   . Temos que P A 0 = 0 , ou seja, M A + C A ⋅ 1 = 0 , então C A = - M A .

Passo 3

Por outro lado, temos P A 1 = 25 e P A 2 = 45 . Então temos que resolver o seguinte sistema

M A - M A e - k A = 25 M A - M A e - 2 k A = 45

Passo 4

Para facilitar as coisas, vamos chamar e - k A = x e observar que podemos colocar M A em evidência temos que

M A ( 1 - x ) = 25 M A ( 1 - x 2 ) = 45

Passo 5

Divindo a equação de baixo pela equação de cima temos M A 1 - x 2 M A 1 - x = 45 25 e podemos cancelar o fator M A . Vamos observar que 45 25 = 9 5 e temos 1 - x 2 1 - x = 9 5

Passo 6

Então devemos resolver a seguinte equação do 2° grau 5 1 - x 2 = 9 ( 1 - x ) , fazendo a multiplicação temos 5 - 5 x 2 = 9 - 9 x e por fim 5 x 2 - 9 x + 4 = 0

Passo 7

Vamos utilizar a fórmula de Báskara para resolver a equação do 2° grau. Vamos lembrar que Δ = b 2 - 4 a c e que nesse caso, temos a = 5 ,   b = - 9 ,   c = 4 e Δ = - 9 2 - 4 ⋅ 5 ⋅ 4 = 81 - 80 = 1 . As soluções são x = - b ± Δ 2 a , x ' = - - 9 + 1 2 ⋅ 5 = 10 10 = 1 e x ' ' = 9 - 1 10 = 8 10 . Observe que se x = 1 , estaríamos dividindo por 0 no nosso sistema, então essa solução não pode ser admitida. Então x = 8 10 .

Passo 8

Voltando para o nosso sistema de equações, temos M A 1 - 8 10 = 25 , M A 2 10 = 25 então M A = 10 ⋅ 25 2 = 125 .

Passo 9

Ufa! Agora podemos saber qual é a curva de aprendizagem de João. Vamos lembrar que P A t = M A - M A e - k A t . Já sabemos que M A = 125 e que e - k A = 8 10 . Então P A t = 125 1 - 8 10 t .

Passo 10

Para saber o número máximo de unidades processadas por hora, devemos calcular lim x → ∞ ⁡ P A ( t ) . lim x → ∞ ⁡ 125 1 - 8 10 t = 125 , pois 8 10 < 1

Resposta

João processará no máximo 125 unidades por hora.

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