Enunciado

33-36 Encontre uma equação da reta tangente á curva no ponto dado.

36 .   y = x 4 - x ,     ( 1 ,   0 )

Passo 1

Falaaa aí galerinha bonita! Tudo joinha?!! Temos que encontrar a equação da reta tangente á curva:

.   y = x 4 - x

No ponto ( 1,0 ) . Vamos lá, a gente sabe que a equação da reta tangente é dada por:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

Mas calma lá meu patrão, vamos primeiro entender o significado de cada termo ali. O f ( a ) , é valor da função y no ponto x = a , isto é, f a = y ( a ) , e f ' ( a ) é a nossa derivada de y também no ponto x = a , mais conhecido como o coeficiente angular. Então bora lá encontrar esses valores.

Trazendo pro nosso caso então, vamos derivar a função:

  y = x 4 - x

Pra ficar mais bonitinho, eu vou transformar essa raiz em exponente, desse jeito ó:

y = x 4 - x ⇒   y = x 1 4 - x

y ' = 1 4 x 1 4 - 1 - 1

y ' = 1 4 x - 3 4 - 1

y ' = 1 4 x ³ 4 - 1

E então no ponto x = a = 1 , temos que:

y ' x = 1 4 x ³ 4 - 1

y ' 1 = 1 4 1 ³ 4 - 1 = 1 4 - 1 = - 3 4

Esse é o coeficiente angular da nossa reta!

Passo 2

Continuando...

Pelo próprio ponto 1 ,   0 , a gente sabe que f 1 = 0 , então montamos a equação da reta tangente como:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

y - 0 = - 3 4 ( x - 1 )

y = 3 4 - 3 4 x

Belezinha então! Essa é a equação da reta tangente à função no ponto ( 1,0 ) .

Resposta

y = 3 4 - 3 4 x

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