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35 – 46. Use a diferenciação logarítimica para achar a derivada de função.42. y = sin ⁡ x x

Passo 1

Para usar a diferenciação logaritimica a gente precisa primeiro ter um logaritimo. Então vamos aplicar o ln dos dois lado da equação:

ln ⁡ y = ln ⁡ sin ⁡ x x

Existe uma propriedade do log que diz que:

ln ⁡ x a = a ln ⁡ x

Então podemos reescrever a equação dessa forma:

ln ⁡ y = x ln ⁡ sin ⁡ x

Para derivar essa expressão precisamos usar a derivação implícita. Aplicando a derivada na equação:

d d x ln ⁡ y = d d x x ln ⁡ sin ⁡ x

Passo 2

Devemos usar a regra da cadeia para o termo da esquerda:

1 y ⋅ y ' = d d x x ln ⁡ sin ⁡ x

E a regra do produto para o termo da diretira:

y ' y = d d x x ⋅ ln ⁡ s e n ⁡ x + d d x ln ⁡ sen ⁡ x ⋅ x

A segunda derivada que aparece na expressão, d d x ln ⁡ sen ⁡ x , precisa da regra da cadeia para resolver:

y ' y = 1 ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x + ln ⁡ sen ⁡ x ' ⋅ d d x ( sen ⁡ x ) ⋅ x

y ' y = ln ⁡ sen ⁡ x + 1 sen ⁡ x ⋅ ( cos ⁡ x ) ⋅ x

Agora é só isolar y ' e substituir y pela expressão dada no enunciado:

y ' = y ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x + x tg ⁡ x

Substituindo y na equação, temos a derivada que procurávamos:

y ' = sin ⁡ x x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x + x tg ⁡ x

Resposta

y ' = sin ⁡ x x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x + x tg ⁡ x

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