Enunciado

35-36. É dada uma função f x definida por partes num intervalo. Nestes exercícios: a) use o Teorema 5.5.5 para encontrar a integral de f x no intervlao; b) encontre uma antiderivada de f x no intervalo; c) use as partes a) e b) para verificar a validade da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

36. f x = x ,       0 ≤ x < 1 1 x 2 ,       1 ≤ x ≤ 4

Passo 1

a) Então pessoal, o Teorema 5.5.5 nos diz o seguinte:

“Se f for integrável em um intervalo fechado contendo os três pontos a ,   b   e   c , então:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Não importando como os pontos estejam ordenados.”

Aplicando essa ideia no nosso problema, teremos:

∫ 0 4 f x d x = ∫ 0 1 x 1 2 d x + ∫ 1 4 x - 2 d x

Então essa é a nossa integral, galera!

Passo 2

Para ambas integrais devemos utilizar a seguinte regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Então para a primeira integral teremos:

∫ 0 1 x 1 2 d x = 2 3 x 3 2 1 0

E para a segunda integral teremos:

∫ 1 4 x - 2 d x = - 1 x 4 1

Logo:

∫ 0 4 f x d x = 2 3 x 3 2 1 0 + - 1 x 4 1 = 2 3 - 1 4 + 1

∴ ∫ 0 4 f x d x = 17 12

Passo 3

b) De acordo com o que calculamos no passo anterior, temos que as antiderivadas serão:

F x = 2 3 x 3 2 ,       x < 1 - 1 x + 5 3 ,       x ≥ 1

E esse é o nosso resultado, galera! 😉

Resposta

a) ∫ 0 4 f x d x = 17 12

b) F x = 2 3 x 3 2 ,       x < 1 - 1 x + 5 3 ,       x ≥ 1

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