Enunciado

37. (a) Use o método de Newton para encontrar as coordenadas do ponto de inflexão da curva y = x 2 s e n x , 0 ≤ x ≤ π , com precisão de seis casa decimais.

Passo 1

Nossa curva é a seguinte:

y = x 2 s e n x

Como queremos achar os pontos críticos vamos derivar e igualar a zero. Logo,

f x = x 2 s e n x

Derivando,

f ' x = 2 x s e n x + x 2 c o s ⁡ ( x )

Fazendo um gráfico para derivada, temos:

Passo 2

Agora é só usar aquela formula da teoria:

x n = x n - 1 - f x n - 1 f ' x n - 1

Lá do Passo 1:

g x = 2 x s e n x + x 2 c o s ⁡ ( x )

Derivando,

g ' x = 2 s e n x + 2 x c o s x + 2 x c o s ( x ) - x 2 s e n ( x )

Isto é,

g ' x = 2 s e n x + 4 x c o s x - x 2 s e n ( x )

Olhando o gráfico, vemos que a raiz está próxima de 2,3 . Então, x 1 = 2,3 .

Passo 3

Para o ponto x 1 = 2,3 :

x n = x n - 1 - 2 x n - 1 s e n x n - 1 + x n - 1 2 c o s ⁡ ( x n - 1 ) 2 s e n x n - 1 + 4 x n - 1 c o s x n - 1 - x n - 1 2 s e n ( x n - 1 )

Fazendo as contas:

x 2 ≈ 2,289007

Para x 3 :

x 3 ≈ 2,28893

Para x 4 :

x 4 ≈ 2,28893

Opa, como deu igual já podemos parar. Pois nos aproximamos o suficiente da raiz. Logo, a raiz aproximada de seis casas decimais será 2 , 2 8893 . Agora vamos achar o f ( 2 , 28893 ) para termos as coordenadas do ponto.

Do passo 1:

f x = x 2 s e n x

Logo,

f ( 2,28893 ) =   3,945301

Portanto,

( 2,28893 ,   3,945301 )

Vamos dar uma olhada no gráfico pra ver se estamos certos?!

Analisando o gráfico, vemos que o resultado bateu legal!

Resposta

( 2,28893 ,   3,945301 )

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Esboce o gráfico. f x = 2 x + 1 + e - x