Esboce o gráfico.

f(x) = e^(-x^2)

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D f = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial para achar f ' x :

x n ' = n x n - 1

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Vamos então aplicar:

f ' x = e - x 2 ' = e - x 2 - x 2 ' = e - x 2 - 2 x = - 2 x e - x 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x :

Temos que f ' x > 0 em:

- ∞ , 0

E f ' x < 0 em:

0 , + ∞

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em - ∞ , 0

f é estritamente decrescente em 0 , + ∞

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f ' ' x :

f ' ' x = f ' f ' x = - 2 x e - x 2 ' = - 2 x ' e - x 2 + - 2 x e - x 2 ' = - 2 e - x 2 + - 2 x - 2 x e - x 2 = 4 x 2 e - x 2 - 2 e - x 2

f ' ' x > 0 em x < - 2 2 e x > 2 2 , tendo a concavidade voltada para cima, e f ' ' x < 0 em - 2 2 < x < 2 2 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em ± 2 2 .

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ e - x 2 = 0

lim x → - ∞ ⁡ e - x 2 = 0

Passo 5

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados