Esboce o gráfico.

f(x) = x^3 - x^2 + 1

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D f = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio e da função constante para achar f ' x :

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

Vamos então aplicar:

f ' x = x 3 - x 2 + 1 ' = 3 x 3 - 1 - 2 x 2 - 1 + 0 = 3 x 2 - 2 x

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x igualando a zero:

3 x 2 - 2 x = 0 ↔ x 3 x - 2 = 0

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para x temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para 3 x - 2 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 2 3 e assume valores positivos quando x > 2 3 .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Temos que f ' x > 0 em:

- ∞ , 0 e 2 3 , + ∞

E f ' x < 0 em:

0 , 2 3  

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em - ∞ , 0 e 2 3 , + ∞

f é estritamente decrescente em 0 , 2 3  

Passo 4

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f ' ' x :

f ' ' x = f ' f ' x = 3 x 2 - 2 x ' = 2 ⋅ 3 x 2 - 1 - 2 x 1 - 1 = 6 x - 2 x 0 = 6 x - 2 ⋅ 1 = 6 x - 2

Igualando a 0 :

6 x - 2 = 0 → x = 1 3

Vamos analisar agora o sinal de f ' ' x :

f ' ' x > 0 em x > 1 3 , tendo a concavidade voltada para cima, e f ' ' x < 0 em x < 1 3 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em 1 3 , pois nesse ponto há uma mudança de concavidade.

Passo 5

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x 3 - x 2 + 1 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 3 - x 2 + 1 = - ∞

Passo 6

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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