Enunciado

Esboce o gráfico.

f (x) = x^3 - x^2 + 1

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D_f = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio e da função constante para achar f^' (x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

Vamos então aplicar:

f^' (x) = (x^3 - x^2 + 1)^' = 3 x^(3 - 1) - 2 x^(2 - 1) + 0 = 3 x^2 - 2 x

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f^' (x) igualando a zero:

3 x^2 - 2 x = 0 harr x (3 x - 2) = 0

Vamos analisar o sinal da expressão:

Para x temos:

A expressão assume valores negativos quando x < 0 e assume valores positivos quando x > 0 .

Para 3 x - 2 temos:

A expressão assume valores negativos quando x < (2)/(3) e assume valores positivos quando x > (2)/(3) .

Passo 3

Vamos lá, agora vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Temos que f^' (x) > 0 em:

]- oo , 0] e [(2)/(3) , + oo[

E f^' (x) < 0 em:

[0 , (2)/(3)]

Como f é contínua temos que:

f é estritamente crescente em ]- oo , 0] e [(2)/(3) , + oo[

f é estritamente decrescente em [0 , (2)/(3)]

Passo 4

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) = f^' (f^' (x)) = (3 x^2 - 2 x)^' = 2 * 3 x^(2 - 1) - 2 x^(1 - 1) = 6 x - 2 x^0 = 6 x - 2 * 1 = 6 x - 2

Igualando a 0 :

6 x - 2 = 0 -> x = (1)/(3)

Vamos analisar agora o sinal de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) > 0 em x > (1)/(3) , tendo a concavidade voltada para cima, e f^(' ') (x) < 0 em x < (1)/(3) , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em (1)/(3) , pois nesse ponto há uma mudança de concavidade.

Passo 5

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x -> + oo e x -> - oo :

underset(x -> + oo)(lim) x^3 - x^2 + 1 = + oo

underset(x -> - oo)(lim) x^3 - x^2 + 1 = - oo

Passo 6

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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