Enunciado

3-22 Diferencie

20.

y = x - 1 x + 1

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:

y = x - 1 x + 1

E pede pra gente diferenciá-la.

A ideai para resolver questões dessas é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de diferenciação devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?

Observe que essa função é formada por uma fração, logo podemos entender que ela é a divisão de duas funções diferentes. Assim:

y = x - 1 x + 1 = f x g x

Sendo assim, a regra que deve ser usada para fazer essa derivação é a regra do quociente. Que é essa aqui:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Agora que sabemos que regra usar, basta fazer a substituição de cada item na fórmula.

Então, partiu aplicar essa regra juntinho comigo.

Passo 2

Vamos separar as funções para facilitar nossa visualização!

f = x - 1

g = x + 1

Também precisaremos das derivadas das duas para ficar bonito!

Para facilitar o trabalho, já vou me adiantar e botar a derivada de x aqui pra você, já que ela vai aparecer bastante.

x ' = x 1 2 ' = 1 2 x 1 - 1 2 = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x

Agora derivando cada função teremos:

f ' = x - 1 '

x ' - 1 ' = 1 2 x

e

g ' = x + 1 '

x ' + 1 ' = 1 2 x

Prontinho, temos tudo que precisamos.

Passo 3

Vamos aplicar agora tudo que encontramos à nossa regra de derivação:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Assim:

y ' = 1 2 x x + 1 - x - 1 1 2 x x + 1 2

Fazendo a multiplicação distributiva em cada termo e simplificando um pouco, teremos:

y ' = 1 2 + 1 2 x - 1 2 + 1 2 x x + 1 2

Perceba que podemos cortar 1 2 e - 1 2 , e então:

y ' = 1 2 x + 1 2 x x + 1 2

O que resulta em:

= 1 x x + 1 2

Por fim, chegou o momento mais esperado quando estudamos cálculo!!! Quando a questão acaba! Temos então:

y ' = 1 x x + 1 2

E prontinho. Fechamos essa!!!

Resposta

y ' = 1 x x + 1 2

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Derive.
Derive.y = (z^2 + e^z) sqrt(z)
Derive a função:g ( x ) = (3 x - 1)/(2 x + 1)
Derive.
Derive:g (x) = (x + 2 sqrt(x)) e^x