Enunciado

39-50 Encontre os limites.

48. lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver juntos esse limite.

Aqui a gente tem um limite que parece complicado, mas ao mesmo tempo nos lembra muito o limite fundamental:

Lembre-se do limite fundamental:

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t t = 1

Então o que a gente vai fazer aqui é manipular a função de forma a termos o nosso limite dessa forma, a partir daí poderemos aplicar o limite fundamental.

Passo 2

Nós precisamos sempre buscar limites que conhecemos, nesse caso, se multiplicarmos por x em cima e embaixo vamos encontrar um limite fundamental:

lim x → 0 ��� sen ⁡ x 2 x ⋅ x x

lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x 2 x 2

O limite da multiplicação é a multiplicação do limite:

lim x → 0 ⁡ x ⋅ lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x 2

Vamos calcular o segundo limite:

Podemos encontrar o limite fundamental se fizermos essa substituição:

u = x 2

Quando

x → 0

O u também tendera a zero:

u → 0

Então nossa expressão fica:

lim x → 0 ⁡ x ⋅ lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u

E aí está o limite fundamental, que é igual a um, então:

0 ⋅ 1

Logo o limite é igual a zero:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x 2 x = 0

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Seja f x = x 1 - cos ⁡ 2 x .Faça o gráfico de f. Que tipo de descontinuidade parece ocorrer em 0?Calcule os limites laterais de f em 0. Esses valores confirmam sua resposta para a parte?
Derive:3) f (x) = s e n x + (1)/(2) cotg x
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O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t =t g x 2 converte qualquer função racional de s e n x e c o sx em uma função racional ordinária de t.Se t =t g x 2 ,- πxπ