Enunciado

39-50 Encontre os limites.

50. lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x 2 + x - 2

Passo 1

Vamos resolver mais uma atividade. Aqui a gente tem que calcular o limite da função:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x 2 + x - 2

O que parece, em primeiro momento, muito difícil. Mas como em vários casos de limite, o que a gente precisa, é manipular o limite corretamente de forma que o resultado da manipulação seja algo que a gente conhece e sabe resolver.

Nesse caso, o que a gente pode fazer é manipular de forma a podermos aplicar o limite fundamental.

Lembre-se do limite fundamental:

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t t = 1

Então iremos utilizar de manipulações matemáticas para realizarmos simplificações e iremos utilizar do limite fundamental citado para nos ajudar a resolver essa atividade.

Passo 2

Vamos de início simplificar:

x 2 + x - 2

Então vamos encontrar suas raízes:

Δ = 1 - 4 1 - 2

Δ = 9

x = - 1 ± 3 2

x 1 = 1

x 2 = 2

As raízes da expressão do denominador são 1 e 2 , então podemos reescrever o limite como:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x - 1 x + 2

O limite do produto é o produto dos limites:

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x - 1 ⋅ lim x → 1 ⁡ 1 x + 2

Podemos fazer uma substituição nesse primeiro limite:

u = x - 1

Então quando

x → 1

O u vai tender a zero:

u → 0

E o nosso limite vai ficar:

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u ⋅ lim x → 1 ⁡ 1 x + 2

Esse primeiro limite é um limite fundamental, que é igual a 1, já o segundo é só substituir x por 1 :

1 ⋅ 1 1 + 2

O limite fica

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x 2 + x - 2 = 1 3

Resposta

lim x → 1 ⁡ sen ⁡ x - 1 x 2 + x - 2 = 1 3

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