3.Calcule.

∫ sin 3 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, pessoal! A gente tem um seno ao cubo para integrar e vamos usar uma substituição simples para fazer isso! Mas antes vamos reescrever essa função.

Primeiro, vamos separar esse seno assim,

∫ sin 3 ⁡ x d x = ∫ sin 2 ⁡ x . sin ⁡ x d x

Agora vamos usar a seguinte identidade trigonométrica,

cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x = 1

Ou seja,

sin 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

Então a nossa integral fica assim,

∫ 1 - cos 2 ⁡ x . sin ⁡ x d x

Agora sim podemos partir para nossa substituição simples.

Passo 2

Vamos fazer a seguinte mudança de variável,

u = cos ⁡ x

d u = - sin ⁡ x d x

Substituindo na integral, ficamos com,

∫ - 1 - u 2 d u = - u + u 3 3 + C

Voltando para variável x

∫ sin 3 ⁡ x d x = - cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 + C

Onde, C é a constante de integração.

Resposta

∫ sin 3 ⁡ x d x = - cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 + C

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