Enunciado

Avalie a integral fazendo a substituição fornecida.

∫ x 2 x 3 + 1 d x ,         u = x 3 + 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos resolver a seguinte integral:

∫ x 2 x 3 + 1 d x

Para isso, o enunciado quer que a gente faça por meio da seguinte substituição:

u = x 3 + 1

Ou seja, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral.

Para isso, precisamos também achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 x 2   d x ∴

d u 3 x 2 = d x

Vamos agora fazer a substituição:

∫ x 2 x 3 + 1 d x = ∫ x 2 u d u 3 x 2 ∴

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 1 3 ∫ u d u ∴

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 1 3 ∫ u 1 / 2 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá!!

Passo 2

Para achar as primitivas da função, usamos as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

Agora é só aplicar:

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 1 3 ∫ u 1 / 2 d u

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 1 3 * u 1 2 + 1 1 2 + 1 + c ∴

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 1 3 * u 3 2 3 2 + c ∴

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 1 3 * 2 u 3 2 3 + c ∴

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 2 u 3 2 9 + c

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 2 u 3 2 9 + c ∴

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 2 x 3 + 1 3 2 9 + c ∴

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 2 x 3 + 1 3 9 + c

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 2 x 3 + 1 3 9 + c

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1-24. a) Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. b) Se o leitor dispuses de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em a).