1.Calcule.

A) ∫ tan 3 ⁡ x sec 4 ⁡ x   d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção. Antes de fazermos a integral propriamente, iremos dar uma mudada na “cara” da integral para ficar mais fácil a sua substituição, vamos lá:

∫ tan 3 ⁡ x sec 4 ⁡ x   d x = ∫ t an 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x   d x

Com essa mudança apenas no aspecto, chamaremos sec ⁡ x   de u :

sec ⁡ x = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( sec ⁡ x ) '   = ( u ) '

sec ⁡ x tan ⁡ x d x = d u

Passo 2

Momento de reflexão: Temos tudo em função de u ? Não, falta algumas coisas ( t an 2 ⁡ x e sec 3 ⁡ x ), então vem comigo que no caminho eu te explico:

sec ⁡ x = u

Elevando ao cubo:

sec 3 ⁡ x = u 3

Falta a t an 2 ⁡ x , como vamos fazer isso? Utilizando essa relação de trigonometria:

sec 2 ⁡ x - 1 = t an 2 ⁡ x

u 2 - 1 = t an 2 ⁡ x

Não se esqueça do d x , é um passo importante para resolvermos:

sec ⁡ x tan ⁡ x d x = d u

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, Substituiremos:

∫ tan 3 ⁡ x sec 4 ⁡ x   d x = ∫ t an 2 ⁡ x sec 3 ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x   d x = ∫ ( u 2 - 1 ) u 3 d u

Passo 3

Quebraremos a integral abaixo em duas, para facilitar nosso trabalho:

∫ ( u 2 - 1 ) u 3 d u = ∫ u 5 d u - ∫ u 3 d u

As integrais acima são light, lembra? Está aí caso não lembre: ( ∫ u n d u   =   1 n + 1 u n + 1 + c ):

∫ u 5 d u - ∫ u 3 d u = u 6 6 - u 4 4 + c

A nossa resposta não deve ser em função de u hein, mas sim em função de x ( sec ⁡ x = u ) . Retornando e obteremos a resposta:

∫ tan 3 ⁡ x sec 4 ⁡ x   d x = sec 6 ⁡ x 6 - sec 4 ⁡ x 4 + c

Resposta

∫ tan 3 ⁡ x sec 4 ⁡ x   d x = sec 6 ⁡ x 6 - sec 4 ⁡ x 4 + c

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