Enunciado

1.Calcule.

A) int tan^3 x sec^4 x d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção. Antes de fazermos a integral propriamente, iremos dar uma mudada na “cara” da integral para ficar mais fácil a sua substituição, vamos lá:

int tan^3 x sec^4 x d x = int t an^2 x sec^3 x tan x sec x d x

Com essa mudança apenas no aspecto, chamaremos sec x de u :

sec x = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( sec x ) ' = ( u ) '

sec x tan x d x = d u

Passo 2

Momento de reflexão: Temos tudo em função de u ? Não, falta algumas coisas ( t an^2 x e sec^3 x ), então vem comigo que no caminho eu te explico:

sec x = u

Elevando ao cubo:

sec^3 x = u^3

Falta a t an^2 x , como vamos fazer isso? Utilizando essa relação de trigonometria:

sec^2 x - 1 = t an^2 x

u^2 - 1 = t an^2 x

Não se esqueça do d x , é um passo importante para resolvermos:

sec x tan x d x = d u

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, Substituiremos:

int tan^3 x sec^4 x d x = int t an^2 x sec^3 x tan x sec x d x = int ( u^2 - 1 ) u^3 d u

Passo 3

Quebraremos a integral abaixo em duas, para facilitar nosso trabalho:

int ( u^2 - 1 ) u^3 d u = int u^5 d u - int u^3 d u

As integrais acima são light, lembra? Está aí caso não lembre: ( int u^n d u = (1)/(n + 1) u^(n + 1) + c ):

int u^5 d u - int u^3 d u = (u^6)/(6) - (u^4)/(4) + c

A nossa resposta não deve ser em função de u hein, mas sim em função de x ( sec x = u ) . Retornando e obteremos a resposta:

int tan^3 x sec^4 x d x = (sec^6 x)/(6) - (sec^4 x)/(4) + c

Resposta

int tan^3 x sec^4 x d x = (sec^6 x)/(6) - (sec^4 x)/(4) + c

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