Enunciado

40. Um fabricante pode obter um lucro de 20 dólares em cada item se até 800 itens forem produzidos por semana. O lucro decresce 0,02 dólares por item acima de 800. (a) Se x itens forem produzidos por semana, expresse o lucro do fabricante como uma função de x. (b) Como x é o número de itens, é um inteiro não negativo. Para que tenhamos as exigências de continuidade do cálciilo, x deve ser um número real não negativo. Com essa hipótese, mostre que a função da parte (a) é contínua até 800, mas não derivável nesse número.

Passo 1

Primeira coisa que devemos fazer antes de iniciar está questão é encontrar a função que modela o problema de acordo com as informações contidas no enunciado, que exatamente o que ele nos pede na letra (a). Uma outra coisa também que devemos perceber logo de cara é que essa função se trata de uma função definida por partes, pois ela muda seu comportamento a partir de uma certa quantidade x de itens produzidos.

Passo 2

Letra (a)

Assim reunindo as informações contidas no enunciado, podemos afirmar que a função que expressa o lucro do fabricante será dada por

Passo 3

Letra (b)

Para determinar se f(x) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:

f(x0) tem que existir;

  1. tem que existir;
  2. .

Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f(x) é continua em x0.

Passo 4

Ao substituir x0 = 800 na função, percebemos que a expressão onde vamos substituir esse valor é a primeira função, pois a mesma está definida para x0 = 800. Com isso temos que

f ( 800 ) = 16000.

Passo 5

Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , .

Assim, temos que :

Com isso podemos afimar que existe e é igual a 16000.

Passo 6

Verificando a ultima condição , temos:

Com isso, como os 3 itens necessários foram atendidos; pode-se afirmar que f (x) é continua em x0 = 800.

Passo 7

Uma função f definida num intervalo aberto que contém x1 será derivável em x1 se e somente se ambas existirem e forem iguais.

A derivada à esquerda de f em x1, denotada por f’ - (x1), será definda por

A derivada à direita de f em x1, denotada por f’ + (x1), será definda por

Passo 8

A derivada à esquerda de f(X) em x1 = 800 será:

Passo 9

A derivada à direita de f(X) em x1 = 150 será :

Passo 10

Como obtemos que não existe. Assim, f(X) não é derivável em x1 = 800. Com isso, percebe-se que uma função ser contínua em X1 , não necessariamente implica que ela é derivável em X1.

Resposta

Demonstração.

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Se duas funções, f e g forem deriváveis num número x 1 , a função composta f ∘ g será, necessariamente, derivável em x 1 ? Se sua resposta for afirmativa, prove-a. Se a resposta for negativa, dê um co
Prove que D x n s e nx = s e nx + 1 2 n π . (Sugestão: use a indução matemática e as fórmulas s e nx + 1 2 π = cos ⁡ x ou cos ⁡ x + 1 2 π = - s e nx após a derivação.)
Dê um exemplo de duas funções f e g para as quais f é derivável em g ( 0 ) , g não é derivável em 0 e f ∘ g é derivável em 0 .
Suponha que a função f seja definida no intervalo aberto ( 0 ,1 ) e f x = s e nπ x x( x - 1 ) Defina f em 0 e 1 , de tal forma que f seja contínua no intervalo fechado [ 0 ,1 ] .
Suponha que f x = 3 x + | x | e g x = 3 4 x - 1 4 | x | . Prove que nem f ' ( 0 ) , nem g ' ( 0 ) existem, mas que ( f ∘ g ) ' ( 0 ) existe.