Enunciado

Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

P = u 2 + v 2 + w 2 ,             u = x e y ,             v = y e x ,             w = e x y ;

∂ P ∂ x ,     ∂ P ∂ y               q u a n d o   x = 0     e     y = 2

Passo 1

O problema pede para você usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas.

Note que w é função de x , y e z . Mas estes são funções de r e θ . Desta forma, w é uma função composta:

∂ P ∂ x = ∂ P ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ P ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x + ∂ P ∂ w ⋅ ∂ w ∂ x

∂ P ∂ y = ∂ P ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ P ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y + ∂ P ∂ w ⋅ ∂ w ∂ y

Vamos tomar as derivadas com relação a u , v e w :

∂ P ∂ u = u u 2 + v 2 + w 2

∂ P ∂ v = v u 2 + v 2 + w 2

∂ P ∂ w = w u 2 + v 2 + w 2

Quando x = 0 e y = 2 , temos que

u = 0

v = 2

w = 1

Assim,

∂ P ∂ u = 0

∂ P ∂ v = 2 5

∂ P ∂ w = 1 5

Passo 2

Agora fazemos as derivadas de u , v e w com relação a x e y :

∂ u ∂ x = e y             e           ∂ u ∂ y = x e y

∂ v ∂ x = y e x             e           ∂ v ∂ y = e x

∂ w ∂ x = y e x y             e           ∂ w ∂ y = x e x y

Assim, com x = 0 e y = 2 :

∂ u ∂ x = e 2             e           ∂ u ∂ y = 0

∂ v ∂ x = 2             e           ∂ v ∂ y = 1

∂ w ∂ x = 2             e           ∂ w ∂ y = 0

Passo 3

Portanto,

∂ P ∂ x = ∂ P ∂ u ⋅ ∂ u ∂ x + ∂ P ∂ v ⋅ ∂ v ∂ x + ∂ P ∂ w ⋅ ∂ w ∂ x = 0 ⋅ e 2 + 2 5 ⋅ 2 + 1 5 ⋅ 2

Logo,

∂ P ∂ x = 6 5

Analogamente,

∂ P ∂ y = ∂ P ∂ u ⋅ ∂ u ∂ y + ∂ P ∂ v ⋅ ∂ v ∂ y + ∂ P ∂ w ⋅ ∂ w ∂ y = 0 ⋅ 0 + 2 5 ⋅ 1 + 1 5 ⋅ 0

Portanto,

∂ P ∂ y = 2 5

Resposta

∂ P ∂ x = 6 5

∂ P ∂ y = 2 5

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Determinar as derivadas parciais ∂ z ∂ ue∂ z ∂ v , usando a regra da cadeia z= ln ⁡ ( x 2 + y 2 ),x = c o s u c o s v,y =s e n u c o s v