Enunciado

41-Prove:

a)A parte a do teorema 1.5.3

b)A parte b do teorema 1.5.3

c) A parte c do teorema 1.5.3

Passo 1

a)Uma vez que f e g são contínuas em a , temos

lim x → c ⁡ f x = f ( c ) e lim x → c ⁡ g x = g ( c )

Logo,

lim x → c ⁡ f + g x = lim x → c ⁡ [ f x + g x ]

                                                                    =   lim x → c ⁡ f x +   lim x → c ⁡ g ( x )

                                  = f c + g ( c )

                            = f + g ( c )

Galera, se atentem para a propriedade dos limites que diz que o limite de uma soma é a soma dos limites.

Isso mostra que f + g é contínua em c .

Passo 2

b) Uma vez que f e g são contínuas em a , temos

lim x → c ⁡ f x = f ( c ) e lim x → c ⁡ g x = g ( c )

Logo,

lim x → c ⁡ f - g x = lim x → c ⁡ [ f x - g x ]

                                                                    =   lim x → c ⁡ f x -   lim x → c ⁡ g ( x )

                                  = f c - g ( c )

                            = f - g ( c )

Galera, se atentem para a propriedade dos limites que diz que o limite de uma diferença é a diferença dos limites.

Isso mostra que f - g é contínua em c .

Passo 3

c) Uma vez que f e g são contínuas em a , temos

lim x → c ⁡ f x = f ( c ) e lim x → c ⁡ g x = g ( c )

Logo,

lim x → c ⁡ f g x = lim x → c ⁡ [ f x g x ]

                                                                    =   lim x → c ⁡ f x ×   lim x → c ⁡ g ( x )

                                  = f c × g ( c )

                            = f g ( c )

Galera, se atentem para a propriedade dos limites que diz que o limite de um produto é o produto dos limites.

Isso mostra que f g é contínua em c .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles? Esboce o gráfico de f . f x = 1 + x 2 , x ≤ 0 2 - x , 0x ≤ 2 x - 2 2 ,x ≥ 2
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