Enunciado

48- Prove que, se p ( x ) é um polinômio de grau ímpar, então a equação p x = 0 tem, no mínimo, um número real como solução.

Passo 1

Seja,

p x = a n x n + … + a 1 x + a 0

Vamos colocar o x n em evidência:

p x = x n ( a n + … + a 1 x n - 1 + a 0 x

Passo 2

Agora, podemos ter dois casos: a n > 0   ou a n < 0

-Se a n > 0 e lim x → + ∞ ⁡ p ( x ) , temos:

p x = + ∞

-Se a n > 0 e lim x → - ∞ ⁡ p ( x ) , temos:

p x = - ∞

-Se a n < 0 e lim x → + ∞ ⁡ p ( x ) , temos:

p x = - ∞

- Se a n < 0 e lim x → - ∞ ⁡ p ( x ) , temos :

p x = + ∞

Passo 3

Você pode estar se perguntando..... Mas como é que esses casos ocorre ?

Então, temos o seguinte limite:

lim x → - ∞ ⁡ x n ( a n + … + a 1 x n - 1 + a 0 x )

Nós sabemos que n é ímpar e nesse caso nosso a n será menor que zero, então, vamos representá-lo por -1. Dessa forma,

lim x → - ∞ ⁡ - ∞ n ( - 1 + … + a 1 x - ∞ - 1 + a 0 - ∞ )

Bom, nossos denominadores que tem - ∞ vão tender a zero. Assim,

lim x → - ∞ ⁡ - ∞ n × - 1

Como n é ímpar, continuamos com o - ∞ . No entanto, como a n é negativo, temos:

l i m x → - ∞ p x = + ∞

Entendeu ????

O importante aqui é se a n é maior ou menor que zero, pois como o n é ímpar não interfere no sinal do infinito ao qual o x está tendendo.

Passo 4

Mas onde entra o Teorema do Valor Intermediário ???

Galera, nós sabemos que pelo TVI, que

Se f for uma função contínua em [ a , b ] , e se f ( a ) e f ( b ) forem diferentes de zero com sinais opostos, então existe, no mínimo, uma solução para a equação f ( x ) = 0 no intervalo ( a , b ) .

Vocês perceberam o mesmo que eu ????

Tanto para a n > 0 quanto para a n < 0 , nós temos limites que tendem ao infinito com sinais opostos dentro de um intervalo. Isso que dizer que, de acordo com o TVI, temos no mínimo um número real como solução para a equação p x = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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