42-Prove a parte (b) d Teorema 1.5 \* 4 .

Passo 1

O Teorema em questão nos diz o seguinte:

Uma função racional é continua em cada ponto em que o denominador não se anula e tem descontinuidades nos pontos em que o denominador é zero.

Mas sabe de uma coisa.... Esse Teorema vem desse outro:

Se as funções f e g forem contínuas em c , então:

f g é contínua em c se g ( c ) ≠ 0 e tem descontinuidade em c se g c = 0 .

Isso quer dizer que se provarmos esse último Teorema estaremos respondendo a questão, certo ?

Passo 2

Vamos considerar o primeiro caso em que c é uma das raízes da função polinomial g ( x ) e, portanto, g c = 0 . Dessa forma, f ( c ) / g ( c ) está indefinida, logo a função f / g tem uma descontinuidade em c .

Agora, vamos considerar o caso em que g ( c ) ≠ 0 . Dessa forma, a função racional será contínua em c , se:

lim x → c ⁡ f x g x = f c g c

Bom.... Uma vez que f e g são contínuas em c ,

lim x → c ⁡ f x = f ( c ) e lim x → c ⁡ g x = g ( c )

Como o limite de um quociente é o quociente dos limites (desde que o limite do denominador não seja zero), temos:

lim x → 0 ⁡ f x g x = lim x → c ⁡ f x / ( lim x → 0 ⁡ g x = f c g c

Fim!

Resposta

Demonstração acima.

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