Enunciado

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de

f x = 4 x - 2   ,   s e   x < 1 x - 2 x - 3 ,     s e   x ≥ 1

em 1 2 7 2 .

Passo 1

E aí, tudo joia? Vamos dar uma olhada no gráfico dessa função pra ficar mais claro pra gente? Olha só:

Vamos fazer isso algebricamente, e depois a gente só faz um check-up no gráfico, tá bom?

Passo 2

Olha só, a gente vai avaliar as duas expressões da função, como se fosse assim:

4 x - 2 ,   e m   1 2 ,   1

e

x - 2 x - 3   e m   1 , 7 2

Vamos derivar cada parte dessa:

4 x - 2 → 4  

Essa derivada não zera, isso quer dizer que não tem como ter ponto de extremo nessa função além dos do intervalo. No caso a gente só analisa então o x = 1 2 ...

4 1 2 - 2 = 0

Vamos ver a outra agora...

x - 2 x - 3 = x 2 - 5 x + 6

(derivamos...)

2 x - 5

Isso vai zerar quando:

2 x - 5 = 0 → x = 5 2

Vamos testar esses pontos agora e os pontos dos intervalos...

Passo 3

f 1 2 = 0

f 1 = 1 - 2 1 - 3 = - 1 - 2 = 2

f 5 2 = 5 2 - 2 5 2 - 3 = 1 2 - 1 2 =   - 1 4

f 7 2 = 7 2 - 2 7 2 - 3 = 3 2 1 2 = 3 4

Ou seja, temos um ponto de máximo absoluto em x = 1 e um de mínimo absoluto em x = 5 2 .

Olhando no gráfico, a gente vê que isso confere, então prontinho😉

Resposta

Ponto mínimo: x = 5 2

Ponto máximo: x = 1

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