Enunciado

Dê uma estimativa para a área entre o gráfico da função f e o intervalo [a, b]. Use um esquema de aproximação com n retângulos, análogo ao desenvolvido nesta seção para a função f ( x ) = x 2. Se seu recurso computacional efetuar somatórios automaticamente, estime a área especificada usando n = 10, 50 e 100 retângulos. Caso contrário, estime a área usando n = 2, 5 e 10 retângulos.

f x = 1 x + 1 ; a , b = [ 0,1 ]

Passo 1

Usaremos o método dos retângulos para calcular a área, começando por subdividir o intervalos [ 0,1 ] em n subintervalos iguais, cada um com um comprimento de 1 n , assim,as extremidades serão:

0 , 1 n , 2 n ,   …   , n - 1 n , 1

Passo 2

Agora, tendo a área do triangulo, a base de todos eles vai ser 1 n , uma vez que dividimos o intervalo de tamanho 1 em 1 n . Já a altura vai ser o f ( x ) naquele ponto, logo:

n n + 1 + n n + 2 + n n + 3 + …   + n 2 n - 1 + 1 2

Como todas as bases dos retângulos são iguais, então a área total é:

A t o t a l = n n + 1 + n n + 2 + n n + 3 + …   + n 2 n - 1 + 1 2 1 n

Passo 3

Considerando que para calcularmos a área total, temos:

A t o t a l = n n + 1 + n n + 2 1 n

substituindo esses valores para n = 2 ,   5 ,   10 ,   50 ,   100 , então teremos:

Prontinho!!

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use as regras na Tabela 5.4 e as Equações 1-3 para calcular as integrais dos Exercícios 41-50.41. ∫ 2 1 1 + z 2 d z
Que valores de a e b maximizam o valor de: ∫ a b ( x - x 2 ) d x
Use as regras na Tabela 5.4 e as Equações 1-3 para calcular as integrais dos Exercícios 41-50.49. ∫ 0 2 ( 3 x 2 + x - 5 ) d x
Nos Exercícios 55-62, faça o gráfico da função e determine o seu valor médio ao longo do intervalo dado.55. f x = x 2 - 1 em 0 ,3
Use a desigualdade s e nx ≤ x , que é válida para x ≥ 0 , para determinar um limitante superior para o valor de ∫ 0 1 s e nx d x .