Enunciado

Um triângulo isósceles tem seu vértice na origem, e sua base é paralela ao eixo x, estando os vértices da base acima do eixo, sobre a curva y = 27 - x 2 . Determine a maior área que o triângulo pode assumir.

Passo 1

A partir dos dados do enunciado, podemos construir o seguinte gráfico:

A base do triângulo pertence a uma reta qualquer y = k . E a interseção dessa reta com a curva y = 27 - x 2 se dá nos pontos B e C. Tendo as coordenadas dos pontos B e C em função de k, podemos calcular a expressão para a área em função de k. A fim de maximizar essa expressão, iremos derivar e igualar a zero.

Passo 2

Encontrando as coordenadas dos pontos B e C:

y = k y = 27 - x 2

k = 27 - x 2

x = ± 27 - k

Como B está no segundo quadrante (x0), podemos inferir que:

x b = - 27 - k

x c = 27 - k

Portanto, temos as coordenadas dos vértices do triângulo:

A: (0,0)

B:   ( - 27 - k ,   k )

C: ( 27 - k ,   k )

Passo 3

Vamos agora calcular a área A do triângulo:

A = b . h 2

Onde a base b é o segmento BC e a altura h é y = k . O segmento BC vale 2 27 - k .

Logo,

A = 2 27 - k . k 2 = 27 - k . k

Vamos agora derivar a expressão da área e igualar a zero. Pela regra do produto, temos:

A ' = 27 - k ' . k + 1 . 27 - k = 0

A ' = 1 2 27 - k . - 1 . k + 27 - k = 0

27 - k = k 2 27 - k

2 27 - k = k

54 - 2 k = k

k = 18

Substituindo o valor de k encontrado na expressão da área, temos:

A = 27 - k . k = 27 - 18 . 18 = 3.18 = 54

Resposta

A maior área que o triângulo pode possuir é de 54 u.a.

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