Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Em uma empresa que produz dois diferentes produtos, temos as funções de demanda:

Q 1 = 40 - 2 P 1 - P 2

Q 2 = 35 - P 1 - P 2

onde Q i ,   i = 1,2 , representa o nível de produção do i-nésimo produto por unidade de tempo e P i ,   i = 1,2 , os respectivos preços. A função custo e dada por:

C   =   Q 1 2   +   Q 2 2   +   10

e a função receita é dada por:

R = P 1 Q 1 + P 2 Q 2

  1. Sabendo que l u c r o =   r e c e i t a - c u s t o , encontrar a função lucro.
  2. Encontrar os níveis de produção que maximizam o lucro.
  3. Qual é o lucro máximo?

Passo 1

Bora pra mais umaa, galeraa?

Na letra a queremos a função lucro, sabendo que:

l u c r o =   r e c e i t a - c u s t o

Substituindo:

L = P 1 Q 1 + P 2 Q 2 - ( Q 1 2   +   Q 2 2   +   10 )

L = P 1 Q 1 + P 2 Q 2 - Q 1 2 -   Q 2 2 -   10

Passo 2

Acharam que tinha acabado?

Não né?! Vamos substituir Q 1 e Q 2 :

L = P 1 ( 40 - 2 P 1 - P 2 ) + P 2 ( 35 - P 1 - P 2 ) - 40 - 2 P 1 - P 2 2 - 35 - P 1 - P 2 2 -   10

Abrindo um pouco a equação:

L = - 7 P 1 2 - 8 P 1 P 2 + 270 P 1 - 3 P 2 2 + 185 P 2 - 2835

Então galera, neste caso nós temos um problema de otimização, certo?

Para maximizar o lucro nós deveremos derivar a função em relação aos preços dos produtos e igualá-las à zero:

∂ L ∂ P 1 = - 14 P 1 - 8 P 2 + 270 = 0

∂ L ∂ P 2 = - 8 P 1 - 6 P 2 + 185 = 0

Primeiro bora isolar P 1 da primeira equação:

P 1 = 270 - 8 P 2 14

Substituindo na segunda:

- 8 270 - 8 P 2 14 - 6 P 2 + 185 = 0

P 2 = 21,5

Para P 1 :

P 1 = 270 - 8 × 21,5 14 = 7

Beleza ! Já sabemos quais os preços dos produtos, agora vamos substituir nos níveis de produção:

Q 1 = 40 - 2 × 7 - 21,5 = 4,5  

Q 2 = 35 - 7 - 21,5 = 6,5

Passo 3

Para saber o lucro máximo basta nós substituirmos os valores que obtemos no Passo 2 na fórmula do lucro do Passo 1:

L = 7 × 4,5 + 21,5 × 6,5 - 4,5 2 - 6,5 2 -   1 0 = 98,75

Essa foi bem legal, não foi?

Resposta

  1. L = P 1 Q 1 + P 2 Q 2 - Q 1 2 -   Q 2 2 -   1 0 ;
  2. Q 1 = 4,5   |   Q 2 = 6,5 ;
  3. 98,75 .

Exercícios de Livros Relacionados

Entre todos os triângulos de perímetro igual a 10 cm, encontrar o que
Dada a função z = a x 2 + b y 2 + c , analisar os pontos críticos, con