Enunciado

45. Em cada parte, use os Teoremas 5.5.2 e 5.5.8 para decidir se a função é integrável nos intervalos - 1,1 .

(a) f x = cos ⁡ x

(b) f x = x x , x ≠ 0   0 ,   x = 0

(c) f x = 1 x 2 , x ≠ 0   0 ,   x = 0

(d) f x = sin ⁡ 1 x , x ≠ 0   0 ,   x = 0

Passo 1

Vamos utilizar os teoremas 5.5.2 e 5.5.8, então vou escreve-los aqui embaixo:

O teorema 5.5.2 diz que:

Se um função f for contínua em um intervalo [ a , b ] , então f será integrável em [ a , b ] e a área líquida com sinal A entre o gráfico de f e o intervalo [ a , b ] será:

A = ∫ a b f x d x

A parte mais importante que usaremos desse teorema é que se a função for contínua num intervalo [ a , b ] , então ela será integrável em [ a , b ] .

Já o Teorema 5.5.8 diz que:

Seja f uma função definida em um intervalo finito fechado [ a , b ]

  1. Se f tiver um número finito de descontinuidades em [ a , b ] , mas for limitada em [ a , b ] , então f será integrável.
  2. Se f não for limitada em [ a , b ] , então não será integrável em [ a , b ] .

Passo 2

Vamos começar pela letra a)

f x = cos ⁡ x

Essa função f ( x ) é contínua em - 1,1 , portanto pelo teorema 5.5.2, podemos afirmar que essa função também é integrável!

Letra a)Integrável

Vamos para a letra b), a letra b é descontínua no ponto x = 0 , pois lim x → 0 + ⁡ = 1 e lim x → 0 - ⁡ = - 1 , portanto a função possui um ponto de descontinuidade, logo um número finito ( 1 ) de descontinuidades, porém essa função é limitada em [ - 1,1 ]

f ( x ) é limitada, pois possui como maior valor y = 1 e menor valor y = - 1 !

Tendo um número finito de descontinuidades, apenas 1 ponto de descontinuidade, e sendo limitada, podemos afirmar que a função f ( x ) da letra b) é integrável.

Letra b)Integrável

Passo 3

A função f ( x ) da letra c) é descontínua no ponto x = 0 , pois o lim x → 0 ⁡ f x = + ∞ e f 0 = 0 , portanto possui apenas um ponto de descontinuidade!

Agora essa função não é limitada no intervalo, pois o valor pode ser tão grande quanto der, por exemplo   x = 0,1 é igual f x = 10 e x = 0,01 dá como resultado f x = 10000 , ou seja, essa função não é limitada nesse intervalo!

Toda função que não é limitada é não integrável, utilizando o teorema 5.5.8 (b)!

Letra c) Não integrável

Para finalizar, ufaaa

Vamos para a letra d)

Temos que a função f ( x ) não é continua no ponto x = 0 , pois lim x → 0 ⁡ f x   não existe, então temos 1 ponto de descontinuidade!

Agora como toda função seno, essa função é limitada e só possui valores entre - 1 e 1 .

Essa função tendo números finitos de descontinuidades, apenas 1 ponto, e sendo limitada, podemos afirmar, de acordo com o Teorema 5.5.8 (a), que essa função é integrável!

Resposta

  1. Integrável
  2. Integrável
  3. Não Integrável
  4. Integrável
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Calcule ∫ 0 1 x 8 d x
Calcule ∫ 1 4 1 + x x d x