Enunciado

45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que:

lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,   lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,   lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0

Nestes exercícios:

a) use esses limites, se necessário, para obter limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ .

b) Esboce o gráfico de f x e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

51. f x = e x 1 - x

Passo 1

a) Então galera, temos que a função que nos foi dada é a seguinte:

f x = e x 1 - x

Se calcularmos os limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ , teremos:

lim x → + ∞ ⁡ e x 1 - x = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ e x 1 - x = 0

Show! Primeira parte finalizada!

Passo 2

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = e x 1 - x + e x 1 - x 2

f ' x = e x 1 - x + 1 1 - x 2 = 2 - x e x 1 - x 2

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

2 - x e x 1 - x 2 = 0

Como e x nunca será zero, a única forma disso dar zero é se:

2 - x = 0

x = 2

Então esse é o nosso possível ponto de extremo, galera!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

f ' ' x = - 1 . e x + 2 - x . e x . 1 - x 2 + 2 - x e x . 2 1 - x 1 - x 4

f ' ' x = 1 - x 2 e x - x e x 1 - x + 4 e x - 2 x e x 1 - x 4

Simplificando:

f ' ' x = e x - 2 x e x - x e x + x 2 e x + 4 e x - 2 x e x 1 - x 3 = e x x 2 - 4 x + 5 1 - x 3

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

e x x 2 - 4 x + 5 1 - x 3 = 0

Como e x não pode ser zero, a única forma disso acontecer é se:

x 2 - 4 x + 5 = 0

Utilizando Bhaskara:

x = 4 ± - 4 2

Note que aparece uma raíz de um número negativo, não é mesmo? Então podemos concluir que não há pontos de inflexão na nossa função!

Passo 4

O único valor interessante que encontramos foi x = 2 , então:

f 2 = - 1 e 2

Por fim, se plotarmos o gráfico da função, teremos:

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) lim x → + ∞ ⁡ e x 1 - x = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ e x 1 - x = 0

b) Ponto de extremo relativo: x = 2 ;

Pontos de inflexão: Não existem.

Gráfico:

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