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47. Se f,g e h são funções e ϕ = f x ⋅ g x ⋅ h ( x ) ,prove que se f ' x , g ' x e h ' ( x ) existirem,

ϕ ' ( x ) = f ( x ) ˙ g x h ' x + f x g ' x h x + f ' x ⋅ g x ⋅ h ( x )

Passo 1

Teremos que derivar ϕ ( x ) = f x ⋅ g x ⋅ h ( x ) usando a regra do produto. Para isso, iremos considerar f x ⋅ g x como uma função só e h x como outra função.

Derivando:

ϕ ' ( x ) = f x ⋅ g x ' ⋅ h x + f x ⋅ g x ⋅ h ' ( x )

Lembrando da regra do produto:

´´Deriva a primeira função, conserva a segunda mais conserva a primeira e deriva a segunda.’’

Mas não acabou por ai, teremos que usar a regra da cadeia mais uma vez para derivar   f x ⋅ g x .

ϕ ' ( x ) = f ' x ⋅ g x + f x ⋅ g ' ( x ) ⋅ h x + f x ⋅ g x ⋅ h ' ( x )

ϕ ' ( x ) = f ' x ⋅ g x ⋅ h x + f x ⋅ g ' x ⋅ h x + f x ⋅ g x ⋅ h ' ( x )

ϕ ' ( x ) =   f ' x ⋅ g x ⋅ h x + f x ⋅ g ' x ⋅ h x +   f x ⋅ g x ⋅ h ' ( x )

Ou

ϕ ' ( x ) = f ( x ) ˙ g x h ' x + f x g ' x h x + f ' x ⋅ g x ⋅ h ( x )

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