Enunciado

50. Uma partícula move-se ao longo do eixo x , sua posição no instante t dado por x t = t /   ( 1 + t 2 ) ,     t ≥ 0 , onde t está medindo em segundo e x , em metros.

(a) Encontre a aceleração no instante t . Quando ela está em 0 ?

(b) Faça o gráfico das funções posição, velocidade e aceleração para 0 ≤ t ≤ 4 .

(c) Quando a partícula está aumentando a rapidez? E quando está diminuindo?

Passo 1

(a)

Lá da física, a gente sabe que a derivada do espaço em relação ao tempo é a velocidade:

v = d s d t

e a derivada da velocidade em relação ao tempo é a aceleração:

a = d v d t

Então precisamos derivar duas vezes a função fornecida no enunciado:

v t = x ' t = d d t t ( 1 + t 2 )

Usando regra da divisão:

v t = d d t t ⋅ 1 + t 2 - d d t 1 + t 2 ⋅ t 1 + t 2 2

A derivadas são apenas de polinômios:

v t = 1 ⋅ 1 + t 2 - 2 t ⋅ t 1 + t 2 2

v t = 1 + t 2 - 2 t 2 1 + t 2 2

v t = 1 - t 2 1 + t 2 2

Derivando mais uma vez, para obtermos a aceleração:

a t = x ' ' t = d d t 1 - t 2 ⋅ 1 + t 2 2 - d d t 1 + t 2 2 ⋅ ( 1 - t 2 ) 1 + t 2 4

Novamente derivadas de polinômios, só que na segunda derivada precisamos usar a regra da cadeia:

a t = x ' ' t = - 2 t ⋅ 1 + t 2 2 - 2 1 + t 2 ⋅ 2 t ⋅ ( 1 - t 2 ) 1 + t 2 4

Podemos colocar o 1 + t 2 em evidência em cima, para cortar em cima e embaixo:

a t = 1 + t 2 - 2 t ⋅ 1 + t 2 - 2 ⋅ 2 t ⋅ ( 1 - t 2 ) 1 + t 2 4

Deixando o 2 t em evidência:

a t = 2 t ⋅ - 1 - t 2 - 2 + 2 t 2 1 + t 2 3

Então a função da aceleração é

a t = 2 t ⋅ t 2 - 3 1 + t 2 3

O enunciato nos pede o tempo quando a = 0 , então:

0 = 2 t ⋅ t 2 - 3 1 + t 2 3

2 t ⋅ t 2 - 3 = 0

Então

2 t = 0

t = 0

Ou

t 2 - 3 = 0

t = ± 3

Como o tempo não pode ser negativo, os dois instantes de tempo em que a aceleração é igual a zero são:

t = 0

e

t = 3

Passo 2

(b)

Podemos usar o GeoGebra para desenhar o gráfico com as funções:

A azul indica a posição;

A verde a velocidade;

E a vermelha a aceleração.

Passo 3

(c) A partícula aumenta a rapidez quando ela tem a velocidade e a aceleração com mesmo sinal. Isso ocorre em 1 ≤ t ≤ 3

Resposta

(a) a t = 2 t ⋅ t 2 - 3 1 + t 2 3

a = 0 em dois instantes: t = 0   e t = 3

(b)

(c) 1 ≤ t ≤ 3

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