Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 50
50. Uma partícula move-se ao longo do eixo , sua posição no instante dado por , onde está medindo em segundo e , em metros.
(a) Encontre a aceleração no instante . Quando ela está em ?
(b) Faça o gráfico das funções posição, velocidade e aceleração para .
(c) Quando a partícula está aumentando a rapidez? E quando está diminuindo?
Passo 1
(a)
Lá da física, a gente sabe que a derivada do espaço em relação ao tempo é a velocidade:
e a derivada da velocidade em relação ao tempo é a aceleração:
Então precisamos derivar duas vezes a função fornecida no enunciado:
Usando regra da divisão:
A derivadas são apenas de polinômios:
Derivando mais uma vez, para obtermos a aceleração:
Novamente derivadas de polinômios, só que na segunda derivada precisamos usar a regra da cadeia:
Podemos colocar o em evidência em cima, para cortar em cima e embaixo:
Deixando o em evidência:
Então a função da aceleração é
O enunciato nos pede o tempo quando , então:
Então
Ou
Como o tempo não pode ser negativo, os dois instantes de tempo em que a aceleração é igual a zero são:
e
Passo 2
(b)
Podemos usar o GeoGebra para desenhar o gráfico com as funções:
A azul indica a posição;
A verde a velocidade;
E a vermelha a aceleração.
Passo 3
(c) A partícula aumenta a rapidez quando ela tem a velocidade e a aceleração com mesmo sinal. Isso ocorre em
Resposta
(a)
em dois instantes: e
(b)
(c)