Enunciado

Trace ou copie o gráfico de f . (Suponha os eixos com a mesma escala.) Use o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de f ' .

9.

Passo 1

E aí, pessoal!

Nesse problema foi dado um gráfico de uma função f e nosso objetivo é esboçar o gráfico de f ' .

Antes de ver como resolvemos esse problema vamos dar uma olhada nesse gráfico...

Parece complicado?

Para resolver esse problema vamos analisar o comportamento da reta tangente da função ao longo do seu domínio.

Fazemos isso pois a inclinação da reta tangente da função em um ponto nada mais é do que a derivada da função naquele ponto.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Vamos começar para valores negativos no “começo” do gráfico...

Na figura acima, vemos que a derivada é positiva, e pequena, porém com o crescimento de x a inclinação da reta também aumenta!!

No ponto em que colocamos uma “lupa”, a derivada possui uma descontinuidade, pois ela contém um “bico”. Então perceba que no lado esquerdo do bico, a inclinação da reta tangente vai tender a pois a função está quase vertical. Já no lado direito a inclinação da reta tangente vai tender a - ∞ pois decresce muito bruscamente.

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos continuar nossa análise... depois do bico temos

Perceba que a inclinação da reta tangente nessas proximidades é negativa, mas aumenta conforme x aumenta.

Até que em um momento a reta tangente é horizontal e sua inclinação é 0 . Esse ponto é muito importante pois como a inclinação é 0 , f ' = 0 , então será um ponto onde a função f ' corta o eixo x .

Bacana, não é?

Passo 4

Por fim, temos que

Depois que a função passa pelo ponto onde a inclinação é nula, a inclinação da reta tangente cresce e é sempre positiva.

Juntando todas as informações que obtemos até agora, temos que inicialmente a função f ' é proximo de 0 e aumenta exponencialmente até .

Nesse ponto há uma descontinuidade em que na direita a função f ' tende a - ∞ e cresce de forma amortecida.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

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