Enunciado

51-60 Dê um gráfico de polinômio e identifique as coordenadas dos cortes com os eixos, dos pontos estacionários e dos pontos de inflexão. Confira as respostas com um recurso gráfico.

54- p x = 2 - x + 2 x 2 - x 3

Passo 1

Galera, vamos começar derivando a função:

p ´ x = - 1 + 4 x - 3 x 2

Agora, vamos derivar novamente:

p ´ ´ x = 4 - 6 x

Passo 2

Igualando a primeira derivada a zero, temos:

p ´ x = 0

- 1 + 4 x - 3 x 2 = 0

x 1 = 1   e   x 2 = 1 3

Para x = 1 :

p 1 = 2

Para x = 1 3 :

p 1 3 = 19 10

( 1,2 ) e ( 1 3 , 19 10 ) são nossos pontos estacionários.

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

Para x = 1 :

p ´ ´ 1 = - 2

Isso quer dizer que o ponto ( 1,2 ) é o nosso máximo.

Para x = 1 3 :

p ´ ´ 1 3 = 2

Isso quer dizer que o ponto   ( 1 3 , 19 10 ) é o nosso mínimo.

Vamos ver se temos algum ponto de inflexão... Para isso nós temos que fazer um estudo de sinais com a função p ´ ´ ( x ) . Então vamos lá!

p ´ ´ x = 4 - 6 x

p ´ ´ x = 0

4 - 6 x = 0

- 6 x = - 4

x = 2 3

Agora, vamos ver como a função se comporta antes e depois do 2 3 . Para isso vamos testar um valor de x < 2 3 e outro valor de x > 2 3 . Ok ???

Para x = 0 :

p ´ ´ 0 = 4

Para x = 1 :

p ´ ´ 1 = - 2

Como p ´ ´ ( x ) tem sinais diferentes antes e depois do 2 3 , para x = 2 3 , temos um ponto de inflexão.

Para x = 2 3

p 2 3 = 48 25  

O ponto ( 2 3 , 48 25 )   é   p o n t o   d e   i n f l e x ã o .

Passo 4

Por último, temos que ver os cortes com os eixos.

- Eixo x :

2 - x + 2 x 2 - x 3 = 0

x 1 = 2  

Agora, podemos usar Briot Ruffini para acharmos as outras raízes:

Assim,

x 2 + 1 x - 2 = 0

x 2 + 1 = 0

Não existe x que satisfaça essa equação.

O corte com eixo x é no ponto:

( 2,0 )

- Eixo y :

p 0 = 2

O corte com eixo y é o ponto:

( 0,2 )

Assim, nós temos o seguinte gráfico:

Resposta

( 1,2 ) (máximo) e ( 1 3 , 19 10 ) (mínimo) são nossos pontos estacionários.

( 2 3 , 48 25 ) é ponto de inflexão.

Cortes nos eixos: 2,0 ,   ( 0,2 )

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