Enunciado

Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

f x = 1 x ;         [ 2 ,   3 )

Passo 1

A questão pede para achar os valores máximos e mínimos absolutos da função no intervalo considerado.

Sabemos que a função f x = 1 / x é descontínua em x = 0 . Todavia, note que este ponto não está incluído do intervalo [ 2 ,   3 ) : assim, f é contínua e derivável nesse intervalo. Por outro lado, como o intervalo é aberto em uma das extremidades, não podemos aplicar o teorema do valor extremo para garantir que a função tenha extremos globais!

Passo 2

A seguir damos um esboço do gráfico de f nesse intervalo:

Observe que nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, de modo que os extremos absolutos, se existirem, só podem estar nas extremidades do intervalo. Como o intervalo é fechado em x = 2 e aberto em x = 3 , temos que f 2 = 1 / 2 é máximo global de f , porém ela não apresenta mínimo global no intervalo já que conforme nos aproximamos de x = 3 o valor da função sempre diminui. Se o intervalo fosse fechado em x = 3 , então teríamos que f 3 = 1 / 3 seria o mínimo absoluto, porém não é este o caso!

Resposta

Máximo absoluto: f 2 = 1 / 2 .

Mínimo absoluto: não tem.

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