Enunciado

5-20. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.

20. f x ,   y = s e n   x . s e n   y ,   - π < x < π ,   - π < y < π

Passo 1

Para começarmos a análise dos máximos e mínimos da função, vamos primeiramente encontrar as derivadas parciais da mesma, se liga:

f x = cos ⁡ x . s e n   y

f y = s e n   x . cos ⁡ y

Encontrando as derivadas de segunda ordem, teremos:

f x x = - s e n   x . s e n   y

f y y = - s e n   x . s e n   y

Para f x = 0 temos que cos ⁡ x = 0 ou s e n   y = 0 , certo? Para cos ⁡ x = 0 , temos que x = - π 2   o u π 2 . Além disso, para s e n   y = 0 , temos que y = 0 . Se substituirmos x = ± π 2 em f y teremos:

f y = cos ⁡ y

Para que isso seja zero, então y = - π 2   o u π 2 . Além disso, substituindo y = 0 em f y teremos:

s e n   x = 0

Para que isso seja zero, então x = 0 .

Passo 2

Tudo bem, agora que fizemos a análise dos pontos em que a derivada é zero, podemos concluir que os pontos críticos são:

- π 2 ,   ± π 2 ,   π 2 ,   ± π 2   e   ( 0 ,   0 )

Agora o que temos que fazer é testar esses pontos em D , que é dado da seguinte forma:

D x ,   y = f x x . f y y - f x y x ,   y 2

Mas quem é f x y ? Como já calculamos f x , então f x y será:

f x y = cos ⁡ x . cos ⁡ y

D x ,   y = s e n 2 x . s e n 2 y - cos ⁡ x . cos ⁡ y 2

Passo 3

Se testarmos os pontos críticos em D , teremos:

D 0 ,   0 = - 1 < 0

O resultado implica em ponto de sela.

D - π 2 ,   ± π 2 = D π 2 ,   ± π 2 = 1 > 0

Ademais, temos que:

f x x - π 2 ,   - π 2 = f x x π 2 ,   π 2 = - 1 < 0

O resultado implica em pontos de máximos locais.

f x x - π 2 ,   π 2 = f x x π 2 ,   - π 2 = 1 > 0

O resultado implica em pontos de mínimos locais. E está aí a análise dos pontos críticos da função!

Resposta

Pontos críticos: - π 2 ,   ± π 2 ,   π 2 ,   ± π 2   e   ( 0 ,   0 )

Pontos de sela: ( 0 ,   0 )

Pontos de mínimos locais: - π 2 ,   π 2 ,   π 2 ,   - π 2

Pontos de máximos locais: - π 2 ,   - π 2 ,   π 2 ,   π 2

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