Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 20
5-20. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
20.
Passo 1
Para começarmos a análise dos máximos e mínimos da função, vamos primeiramente encontrar as derivadas parciais da mesma, se liga:
Encontrando as derivadas de segunda ordem, teremos:
Para temos que ou , certo? Para , temos que . Além disso, para , temos que . Se substituirmos em teremos:
Para que isso seja zero, então . Além disso, substituindo em teremos:
Para que isso seja zero, então .
Passo 2
Tudo bem, agora que fizemos a análise dos pontos em que a derivada é zero, podemos concluir que os pontos críticos são:
Agora o que temos que fazer é testar esses pontos em , que é dado da seguinte forma:
Mas quem é ? Como já calculamos , então será:
Passo 3
Se testarmos os pontos críticos em , teremos:
O resultado implica em ponto de sela.
Ademais, temos que:
O resultado implica em pontos de máximos locais.
O resultado implica em pontos de mínimos locais. E está aí a análise dos pontos críticos da função!
Resposta
Pontos críticos:
Pontos de sela:
Pontos de mínimos locais:
Pontos de máximos locais: