Enunciado

53- Prove que existem pontos diametralmente opostos no Equador terrestre em que se registra a mesma temperatura.[Sugestão: Considere a figura dada, em que aparece o Equador visto de algum ponto acima do Polo Norte. Suponha a temperatura T ( θ ) seja uma função contínua do ângulo θ e considere a função f θ = T θ + π - T θ . ]

Passo 1

Galerinhaaa, primeiro vamos entender o que nós temos que provar para satisfazer a questão.

Cara, T ( θ ) é a temperatura de um lado e T ( θ + π ) é a temperatura do outro lado do equador, Ok ?

Bom, nós temos que provar que existe um θ que zere a nossa função e, com isso:

T θ + π - T θ = 0

T θ + π = T θ

Sacou ?!

Passo 2

Nós temos que:

f π = T 2 π - T ( π )

E

f 0 = T π - T ( 0 )

T 0 = - f 0 + T ( π )

Substituindo T ( 0 ) na primeira função: (lembrando que: T 0 = T ( 2 π ) )

f π = - f 0 + T ( π ) - T ( π )

f π = - f ( 0 )

Com isso,nós podemos afirmar que se f π > 0 ,   f 0 < 0 . Do mesmo jeito, se f π < 0 ,   f 0 > 0 .

Dessa forma, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um θ , tal que f θ = 0 , já que f é contínua no intervalo [ 0 , π ] e f π ,   f ( 0 ) tem sinais opostos e são diferentes de zero. Isso que dizer que temos:

T θ + π = T θ

Fala sério, achou que ia ser mais difícil, né ?!

Resposta

Demonstração acima.

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