53-Encontre lim x → 1 ⁡ s e n   π x x - 1  

Passo 1

Você pode estar se perguntando como eu começo a resolver esse limite???

Eu já posso adiantar que a melhor maneira, talvez seja fazendo um substituição. Como assim ?

Olha só...

Se:

x - 1 = t

E, consequentemente:

x = t + 1

Então, o nosso t vai tender a zero. Okk ?

Substituindo isso no limite, temos:

lim t → 0 ⁡ s e n   π ( t + 1 ) t =   lim t → 0 ⁡ s e n   ( π t + π ) t  

Você pode estar pensando... Caracaa antes eu tinha um limite ruim, mas agora parece que a situação piorou.

Realmente, parece que o limite está mais feio, mas pelo menos agora a gente consegue resolver. Só vem comigo !!!

Passo 2

Lembra daquela musiquinha do seno que você com certeza já ouviu o seu professor de matemática cantando ??? Então... acho que talvez você precise dela pra lembrar isso aqui:

s e n   a + b = s e n a   c o s b + s e n b   c o s a

Assim,

lim t → 0 ⁡ s e n   π t × c o s π + s e n π × c o s π t t =   lim t → 0 ⁡ s e n   π t × c o s π t + lim t → 0 ⁡ s e n π × c o s π t t  

Resolvendo o primeiro limite:

lim t → 0 ⁡ s e n   π t × c o s π t =   lim t → 0 ⁡ s e n   π t t × l i m t → 0   c o s π  

Pelo limite fundamental trigonométrico:

lim ⁡ π t → 0 ⁡ s e n   π t π t = 1 × π = π

Assim,

lim t → 0 ⁡ s e n   π t × c o s π t =   π × - 1 = - π

Resolvendo o segundo limite:

lim t → 0 ⁡ s e n π × c o s π t t   = lim t → 0 ⁡ 0 × c o s π t t = 0  

Passo 3

Assim,

lim t → 0 ⁡ s e n   ( π t + π ) t   =   - π + 0 = - π

Resposta

- π

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