Enunciado

Use um recurso gráfico para obter uma estimativa da localização das linhas tangentes horizontais. Depois, encontre a localização exata por diferenciação.

y = x 3 3 - 3 x 2 2 + 2 x

Passo 1

Utilizando, primeiro, o recurso gráfico que o problema fala, temos essa imagem aqui:

Bom, essa estimativa que ele pede vai ser no olho mesmo, ok? E, no olho, a gente pode ver que a linha tangente ao gráfico horizontal deve aparecer ali mais ou menos nos pontos x = 1 e x = 2 .

Para achar os pares coordenados, é só substituir o valor do x na função y = x 3 3 - 3 x 2 2 + 2 x e, com isso, a gente acharia os pares: 1 ; 5 6 e 2 ; 2 3 , respectivamente.

Passo 2

Masss, infelizmente, nem tudo são flores né? Rs

E agora vamos para a segunda parte do problema, onde vamos achar as localizações exatas dos pontos em que a reta tangente é horizontal, usando a diferenciação.

Vamos, então, lembrar rapidinho da teoria: uma reta tangente a uma função em um ponto deve ter o mesmo valor que a função nesse ponto e sua inclinação é a derivada da função nesse ponto. Essa reta tangente é horizontal quando sua inclinação é zero, certo? Logo, a derivada da função no ponto em questão também deve ser zero! Ou seja, para achar as localizações exatas dos pontos em que a reta tangente é horizontal, só precisamos achar onde que a derivada da função é zero!

Passo 3

Então, temos a função:

y = x 3 3 - 3 x 2 2 + 2 x

Vamos derivar e igual o resultado a zero:

y ' = 3 x 2 3 - 6 x 2 + 2 = x 2 - 3 x + 2

0 = x 2 - 3 x + 2

Opa, olha só quem apareceu aqui, uma função do segundo grau.

Passo 4

Vamos usar o Bháskara para encontrar as raízes desse cara aí:

x 2 - 3 x + 2 = 0

- b ± b 2 - 4 a c 2 a = 3 ± 9 - 8 2 = 3 ± 1 2

Com isso, nossas raízes são:

r 1 = 3 + 1 2 = 2

E

r 2 = 3 - 1 2 = 1

Então, esses são os pontos em que a reta tangente é horizontal, ou seja, em que a derivada da função é zero!

Ora ora, e não é que nosso olho funcionou direitinho? Os pontos realmente eram x = 1 e x = 2 . Logo, já até sabemos as respostas, são os mesmos pares ordenados que já vimos ali em cima: 1 ; 5 6 e 2 ; 2 3 .

OBS.: Cara, dessa vez, o nosso olho deu certo (amém?), mas normalmente isso não é um método muito confiável de se usar hein. A melhor forma é usando diferenciação mesmo! Porque não tem erro! Beleza?

Resposta

Retas tangentes horizontais em 1 ; 5 6 e 2 ; 2 3 .

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Derive a função: z = A y 10 + B e y