Enunciado

55-60. Usando a regra de L’Hôpital (Seção 3.6), podemos conferir que:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x r = 0 ,   lim x → + ∞ ⁡ x r ln ⁡ x = + ∞ ,   lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ x = 0

Com qualquer número real positivo r . Nestes exercícios:

a) Use esses limites, se necessário, para obter os limites de f x quando x → ∞ e x → 0 + .

b) Esboce o gráfico de f x e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Configura seu trabalho com um recurso gráfico.

60. f x = x - 1 3 ln ⁡ x

Passo 1

a) Então galera, para calcularmos os limites com x tendendo a + ∞ e com x tendendo a 0 + , caso não haja necessidade de utilizar L’Hôpital, basta aplicarmos os limites, ok? A função que nos foi dada é:

f x = x - 1 3 ln ⁡ x

Calculando o primeiro limite, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ x - 1 3 ln ⁡ x

Reescrevendo esse argumento, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x 1 3

E de acordo com o enunciado, temos que:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x r = 0

Então:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x 1 3 = 0

Por fim, calculando o segundo limite:

lim x → 0 + ⁡ x - 1 3 ln ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x 1 3

O nosso denominador será um número muito próximo de zero, mas positivo. Já o nosso numerador, temos que o resultado será um número negativo, uma vez que ln ⁡ x com x entre 0 e 1 resulta em um número negativo. Logo:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x 1 3 = - ∞

Ok, a primeira parte foi finalizada! Do resultado que encontramos podemos concluir que nosso gráfico explode para - ∞ quando a função se aproxima de zero.

Passo 2

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = - 1 3 x - 4 3 . ln ⁡ x + x - 1 3 . 1 x

f ' x = 3 - ln ⁡ x 3 x 4 3

Igualando nossa derivada a zero, teremos:

3 - ln ⁡ x 3 x 4 3 = 0

Como x 4 3 não pode ser zero, então a única forma disso dar zero é se:

3 - ln ⁡ x = 0

ln ⁡ x = 3

Utilizando a propriedade fundamental de logaritmos:

x = e 3

E esse é nosso único ponto de extremo, galera!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

f ' ' x = - 1 x . 3 x 4 3 - 3 - ln ⁡ x . 4 x 1 3 9 x 8 3

f ' ' x = 4 ln ⁡ x - 15 9 x 7 3

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

4 ln ⁡ x - 15 9 x 7 3 = 0

Como x 7 3 não pode ser zero, então a única forma disso dar zero é se:

4 ln ⁡ x - 15 = 0

ln ⁡ x = 15 4

Utilizando a propriedade fundamental de logaritmos:

x = e 15 4

Então esse é nosso ponto de inflexão, galera!

Passo 4

Substituindo na nossa função original os valores importantes de x que encontramos, teremos:

f e 3 = e 3 - 1 3 ln ⁡ e 3 = 3 e

f e 15 4 = e 15 4 - 1 3 ln ⁡ e 15 4 = 15 4 e 5 4

Show! Por fim, plotando o gráfico da função, teremos:

E pelo gráfico notamos que:

x = e 3 → P o n t o   d e   m á x i m o

x = e 15 4 → P o n t o   d e   i n f l e x ã o

O ponto de inflexão está bastante sutil no gráfico, então é normal que esteja sendo difícil de visualiza-lo, mas a questão é que ele existe, e é essa informação que temos que absorver, ok? Show!

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) lim x → + ∞ ⁡ y = 0

lim x → 0 + ⁡ y = - ∞

b) Ponto(s) de extremo(s) relativo(s): x = e 3 ;

Ponto(s) de inflexão: x = e 15 4 ;

Gráfico:

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →