Enunciado

57. Suponha que f seja umafunção contínuae positivaem toda parte e que o eixo x seja uma assíntota do gráfico de f quando x → - ∞ e quando x → + ∞ . Explique por que f não pode ter um mínimo absoluto, mas pode ter um mínimo relativo.

Passo 1

Para concluir que f não pode ter mínimo absoluto, vamos pensar qual seria o melhor candidato caso ela tivesse. Concorda que, caso ela tenha, esse mínimo deve ser 0 ? A nossa hipótese diz que f é positiva, ou seja, f x > 0   p a r a   t o d o   x e diz também que lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 0 = lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) , isto é, f não assume valores abaixo de 0 e o menor valor do qual ela se aproxima é 0, mas ele nunca pode ser assumido pois nossa hipótese garante que f x > 0 , sendo assim, f ( x ) não pode ter um minimo absoluto.Porém f pode ter um mínimo relativo se houverem dois pontos a > b tal que f ' a > 0 e f ' b < 0 , pois isso garante que a função tem um vale e, consequentemente, um minimo relativo.

Resposta

Explicação acima.

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