Enunciado

Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens retangulares exige que o comprimento de cada caixa seja 2   m e o volume 3   m 3 . Para gastar a menor quantidade de material possível na fabricação de caixas, quais devem ser suas dimensões.

Passo 1

Pra começar, vamos fazer uma ilustração do que ele está nos dizendo. Olha só:

Como o volume da caixa é de 3   m 3 :

a b c = 3       ( i )

Como o comprimento de cada caixa deve ser   2   m :

a = 2

Voltando em ( i ) :

b c = 3 2

Como queremos usar a menor quantidade de material, a ideia será minimizar a área total. Então vamos ver como fica

Passo 2

Agora vamos derivar e igualar a zero para ver quais são os pontos críticos.

l a = 3 a + 16 00 a

Derivando,

l ' a = 3 - 16 00 a 2

Igualando a zero:

3 - 16 00 a 2 = 0

Assim,

a = 16 00 3

Simplificando,

a = 40 3 3

Opa, agora que já sabemos a   basta voltarmos em ( i ) e acharmos b .

b = 400 a

Portanto,

b = 400 40 3 3 → b = 10 3

Resposta

a = 40 3 3

b = 10 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f
Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos exemplos 3 e 4 dessa seção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. f x = x
Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos exemplos 3 e 4 dessa seção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. g x = x
Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. h
Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existirem, e determine os valores de x nos quais ocorrem os extremos absolutos. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo. g