Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens retangulares exige que o comprimento de cada caixa seja e o volume . Para gastar a menor quantidade de material possível na fabricação de caixas, quais devem ser suas dimensões.
Passo 1
Fala aí!! Tudo tranquilinho??
Seguinte... desejamos ter uma caixa com de comprimento e volume de . Para isso, queremos gastar a menor quantidade de material possível na fabricação de caixas.Nesse caso, quais serão a altura e largura da caixa??
Pra começar, vamos fazer uma ilustração do que ele está nos dizendo. Olha só:
Como o volume da caixa é de :
Como o comprimento de cada caixa deve ser :
Voltando em :
Como queremos usar a menor quantidade de material, a ideia será minimizar a área total. Então vamos ver como fica!
Passo 2
A fórmula da área (incluindo o topo e o fundo) é dada por:
Substituindo :
Utilizando a restrição , temos:
Passo 3
Agora vamos derivar e igualar a zero para ver quais são os pontos críticos.
A nossa função que queremos minimizar é dada por:
Derivando a expressão, obtemos:
Igualando a zero:
Passo 4
Agora que já sabemos , basta voltar na restrição e achar :