Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens retangulares exige que o comprimento de cada caixa seja 2 \* m e o volume 3 \* m^3 . Para gastar a menor quantidade de material possível na fabricação de caixas, quais devem ser suas dimensões.

Passo 1

Fala aí!! Tudo tranquilinho??

Seguinte... desejamos ter uma caixa com 2   m de comprimento e volume de 3   m 3 . Para isso, queremos gastar a menor quantidade de material possível na fabricação de caixas.Nesse caso, quais serão a altura e largura da caixa??

Pra começar, vamos fazer uma ilustração do que ele está nos dizendo. Olha só:

Como o volume da caixa é de 3   m 3 :

a b c = 3       ( i )

Como o comprimento de cada caixa deve ser   2   m :

a = 2

Voltando em ( i ) :

b c = 3 2

Como queremos usar a menor quantidade de material, a ideia será minimizar a área total. Então vamos ver como fica!

Passo 2

A fórmula da área (incluindo o topo e o fundo) é dada por:

A = 2 a b + 2 a c + 2 b c

Substituindo a = 2 :

A = 4 b + 4 c + 2 b c

Utilizando a restrição b c = 3 2 ⇒ c = 3 2 b , temos:

A = 4 b + 4 3 2 b + 3

A = 4 b + 6 b + 3

Passo 3

Agora vamos derivar e igualar a zero para ver quais são os pontos críticos.

A nossa função que queremos minimizar é dada por:

A b = 4 b + 6 b + 3

Derivando a expressão, obtemos:

A ' b = 4 - 6 b 2

Igualando a zero:

4 - 6 b 2 = 0

b 2 = 6 4

b = 6 2

Passo 4

Agora que já sabemos b , basta voltar na restrição e achar c :

c = 3 2 b

c = 3 2 6 2

c = 3 6 6

c = 6 2

Resposta

a = 3

b = 6 2

c = 6 2

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