Enunciado

Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40   k m de uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100   k m , como mostra a figura a seguir. Se a barca tem uma velocidade de 18   k m por hora e os carros tem uma velocidade média de 50   k m / h , onde deverá estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem a mais rápida possível?

Passo 1

Incialmente, podemos fazer uma ilustração do que está acontecendo. Supondo uma distância x até a estação das barcas, temos:

Para encontrarmos l , podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. Assim,

l 2 = 40 2 + x 2  

Então,

l = 40 2 + x 2

Logo, o tempo total ficará o seguinte:

t = l v b a r c a + 100 - x v c a r r o

Substituindo os dados:

t x = 40 2 + x 2 18 + 100 - x 50

Passo 2

Como queremos a viagem mais rápida, a ideia é minimizar o tempo. Para isso, vamos derivar a equação de t e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.

Derivando:

t ' x = 1 2 × 1 18 40 2 + x 2 × 40 2 + x 2 ' - 1 50

Cuidado para não esquecer da regra da cadeia!

t ' x =   1 2 × 2 x 18 40 2 + x 2 - 1 50

Simplificando e igualando a zero:

x 18 40 2 + x 2 - 1 50 = 0

Portanto,

50 x = 18 40 2 + x 2

Elevando ao quadrado dos dois lados:

50 2 x 2 = 18 2 40 2 + x 2

Organizado as coisas:

x 2 = 18 2 × 40 2 50 2 - 18 2

Fazendo as contas:

x = 15,43   k m

Isto é,

100 - x = 84,56   k m

Com isso, concluímos que a estação das barcas deve se localizar a uma distância de 84,56   k m da cidade.

Resposta

A estação das barcas deve se localizar a uma distância de 84,56   k m da cidade.

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