Enunciado

60- Desigualdade satisfeita pelas médias geométrica

  1. Demonstre que o gráfico de e x é côncavo para cima em qualquer intervalo de valores de x .
  2. Demonstre, em relação à figura a seguir, que, se 0 < a < b , então
  3. e ( ln ⁡ a + ln ⁡ b ) / 2 × ( ln ⁡ b - ln ⁡ a ) < ∫ ln ⁡ a ln ⁡ b e x d x < e ln ⁡ a + e ln ⁡ b 2 × ( ln ⁡ b - ln ⁡ a )  

  4. Use a desigualdade do item (b) para concluir que

a b < b - a ln ⁡ b - ln ⁡ a < a + b 2

Essa desigualdade diz que a média geométrica de dois números positivos é menor que a média logarítmica de ambos, que, por sua vez, é menor do que sua média aritmética. (Para saber mais sobre essa desigualdade, consulte BURK, Frank. The geometric, logarithmic, and arithmetic mean inequality. American Mathematical Monthly, v. 94, n. 6, jun./jul. 1987. p. 527-528.)

Passo 1

Letra a)

Fazendo as derivadas em relação a x da função e x temos que:

y ' = e x

y ' ' = e x

Como e é um número positivo ≈ 2.718 temos que qualquer que seja o valor de x , a função sempre terá um valor positivo e crescente (por conta de sua primeira derivada) e sempre terá concavidade para cima (devido a sua segunda derivada).

Passo 2

Letra b)

Com a figura conseguimos ver três áreas sendo representas:

O trapézio formado pelos pontos ADCB

A área formada pela exponencial e x e o eixo x

E o trapézio formando pelos pontos ADFE

E visualmente conseguimos ver que:

Á r e a   t r a p e z i o   A D C B < Á r e a   f o r m a d a   p e l o   e x   d e ln ⁡ a   a ln ⁡ b < Á r e a   t r a p é z i o   A D F E

A área do trapézio pode ser calculada por:

A = B a s e   m a i o r + B a s e   M e n o r 2 × a l t u r a

No trapézio ADFE temos:

Base menor= distância de AE= e ln ⁡ a

Base maior= distância de DF= e ln ⁡ b

Altura= distância AD= ln ⁡ b - ln ⁡ a

Logo sua área será:

A = e ln ⁡ a + e ln ⁡ b 2 × ( ln ⁡ b - ln ⁡ a )

A exponencial faz o gráfico formado pela integral percorrendo o ponto A até o ponto D.

A = ∫ ln ⁡ a ln ⁡ b e x d x

Já o trapézio ADCB não tem como precisar os tamanhos formados pelas retas AB e CD, mas sabemos qual é a sua altura média. Quer seria o formado pelo ponto M.

Pois uma vez que na fórmula do trapézio temos:

B + b 2 = B a s e   m é d i a

Logo nossa área para esse trapézio fica:

A r e a A D C B = e ( ln ⁡ a + ln ⁡ b ) / 2 × ( ln ⁡ b - ln ⁡ a )

Portanto como queríamos demonstrar:

e ( ln ⁡ a + ln ⁡ b ) / 2 × ( ln ⁡ b - ln ⁡ a ) < ∫ ln ⁡ a ln ⁡ b e x d x < e ln ⁡ a + e ln ⁡ b 2 × ( ln ⁡ b - ln ⁡ a )

Passo 3

Letra c)

Fazendo a integral presente na desigualdade temos:

e ( ln ⁡ a + ln ⁡ b ) / 2 × ( ln ⁡ b - ln ⁡ a ) < e ln ⁡ b - e ln ⁡ a < e ln ⁡ a + e ln ⁡ b 2 × ( ln ⁡ b - ln ⁡ a )

Como e ln ⁡ n = n e e n + m = e n × e m temos:

e ln ⁡ a 2 × e ln ⁡ b 2 × ( ln ⁡ b - ln ⁡ a ) < b - a < a + b 2 × ( ln ⁡ b - ln ⁡ a )

Como n ( l n   m ) = ln ⁡ m n

e ln ⁡ a × ln b ⁡ × ( ln ⁡ b - ln ⁡ a ) < b - a < a + b 2 ( ln ⁡ b - ln ⁡ a )

a   b ( ln ⁡ b - ln ⁡ a ) < b - a < a + b 2 ( ln ⁡ b - ln ⁡ a )

Dividindo todas as parcelas por ( ln ⁡ b - ln ⁡ a ) temos:

a b < b - a ln ⁡ b - ln ⁡ a < a + b 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um tanque tem a forma de um sólido obtido ao girar a região limitada pela curva y = ln ⁡ x , pelo eixo x e pelas retas x = e e x = e 2 em torno do eixo x . Se o tanque estiver cheio de água, qual o tr
Calcule a integral definida ∫ 0 4 x 3 - x 2 + 1d x
Calcule a integral definida ∫ 0 3 3 x 2 - 4 x + 1d x
Calcule a integral definida d d x ∫ x 3 1 + t 4 d t
Calcule a integral definida ∫ 1 3 3 x 2 + 5 x - 1d x