Enunciado

63-70. Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).

64. f x ,   y = s e n 2 x + 5 y ; f y x y

Passo 1

Então galera, a primeira coisa para facilitar o entendimento é clarear o que essa notação que o enunciado utilizou quer dizer, tudo bem? Temos que encontrar as seguintes derivadas de ordem superior:

f y x y = ∂ ³ f ∂ y ∂ x ∂ y

E caso não se lembre, na notação de derivada pacial de ordem superior com o símbolo , começamos a derivar da direita para a esquerda, tudo bem? Além disso, a segunda derivada consiste em derivar a primeira, a terceira derivada consiste em derivar a segunda e assim sucessivamente, ok? Sabendo disso então já temos bagagem suficiente para resolver essa questão. Bora lá!

Passo 2

Descobrindo f y x y , teremos:

f x ,   y = s e n 2 x + 5 y

∂ f ∂ y = cos ⁡ 2 x + 5 y . 2 x + 5 y ' = 5 . cos ⁡ 2 x + 5 y

∂ ² f ∂ x ∂ y = 5 . - s e n 2 x + 5 y . 2 x + 5 y ' = - 10 . s e n 2 x + 5 y

∂ ³ f ∂ y ∂ x ∂ y = - 10 . cos ⁡ 2 x + 5 y . 2 x + 5 y ' = - 50 . cos ⁡ 2 x + 5 y

Por fim, só para sintetizar, temos que:

f y x y = ∂ ³ f ∂ y ∂ x ∂ y = - 50 . cos ⁡ 2 x + 5 y

Resposta

f y x y = - 50 . cos ⁡ 2 x + 5 y

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